Chủ đề này có 5 trả lời

[Mai Pham]

Cho a, b, c >0 thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$

Chứng minh $\frac{a}{a^{2} + 2b + 3} + \frac{b}{b^{2} + 2c + 3} + \frac{c}{c^{2} + 2a + 3} \leqslant \frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Pham: 14-05-2014 - 16:05

[HoangHungChelski]

Cho a, b, c >0 thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$

Chứng minh $\frac{a}{a^{2} + 2b + 3} + \frac{b}{b^{2} + 2c + 3} + \frac{c}{c^{2} + 2a + 3} \geqslant \frac{1}{2}$

phải là dấu $\leq$ chứ

[lahantaithe99]

Cho a, b, c >0 thỏa mãn $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3$

Chứng minh $\frac{a}{a^{2} + 2b + 3} + \frac{b}{b^{2} + 2c + 3} + \frac{c}{c^{2} + 2a + 3} \leqslant \frac{1}{2}$

 

Ta có $VT\leqslant \sum \frac{a}{2a+2b+2}$

 

vậy nên cần chứng minh 

 

$\sum \frac{a}{a+b+1}\leqslant 1\Leftrightarrow \sum \frac{b+1}{a+b+1}\geqslant 2$

 

Thật vậy áp dụng BĐT Cauchy Shwarz kết hợp với $a^2+b^2+c^2=3$ ta có

 

$\sum \frac{b+1}{a+b+1}=\sum \frac{(b+1)^2}{(b+1)(a+b+1)}\geqslant \frac{(a+b+c+3)^2}{\sum (b+1)(a+b+1)}=2$

 

Vậy ta có đpcm 

 

Đẳng thức xảy ra tại $a=b=c=1$

[nguyenhongsonk612]

Ta có $VT\leqslant \sum \frac{a}{2a+2b+2}$

 

vậy nên cần chứng minh 

 

$\sum \frac{a}{a+b+1}\leqslant 1\Leftrightarrow \sum \frac{b+1}{a+b+1}\geqslant 2$

 

Thật vậy áp dụng BĐT Cauchy Shwarz kết hợp với $a^2+b^2+c^2=3$ ta có

 

$\sum \frac{b+1}{a+b+1}=\sum \frac{(b+1)^2}{(b+1)(a+b+1)}\geqslant \frac{(a+b+c+3)^2}{\sum (b+1)(a+b+1)}=2$

 

Vậy ta có đpcm 

 

Đẳng thức xảy ra tại $a=b=c=1$

Chỗ đỏ mình chưa rõ, la han giúp mình nhé.

P/s: Mình đã thử nhân ra nhưng k được. Phải chăng mình nhân sai?

[lahantaithe99]

Chỗ đỏ mình chưa rõ, la han giúp mình nhé.

P/s: Mình đã thử nhân ra nhưng k được. Phải chăng mình nhân sai?

Nó sẽ thế này n(kết hợp cả $a^2+b^2+c^2=3$)

 

$\frac{(a+b+c+3)^2}{\sum (b+1)(a+b+1)}=\frac{12+6(a+b+c)+2(ab+bc+ac)}{6+3(a+b+c)+ab+bc+ac}=2$

[nguyenhongsonk612]

Nó sẽ thế này n(kết hợp cả $a^2+b^2+c^2=3$)

 

$\frac{(a+b+c+3)^2}{\sum (b+1)(a+b+1)}=\frac{12+6(a+b+c)+2(ab+bc+ac)}{6+3(a+b+c)+ab+bc+ac}=2$

Đúng thật là mình đã nhân sai. Cám ơn cậu rất nhiều lahan ạ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 14-05-2014 - 18:03