Cho x, y, z>0 thỏa mãn xyz = 1
Tìm min $\frac{x^{2}}{x + y + y^{3}z} + \frac{y^{2}}{y + z + z^{3}x} +\frac{z^{2}}{x + z + x^{3}y}$
Cho x, y, z>0 thỏa mãn xyz = 1
Tìm min $\frac{x^{2}}{x + y + y^{3}z} + \frac{y^{2}}{y + z + z^{3}x} +\frac{z^{2}}{x + z + x^{3}y}$
$\sum \frac{x^2}{x+y+y^2z} = \sum \frac{x^3}{x^2+xy+y^3zx}= \sum \frac{x^3}{x^2+xy+y^2}$
Ta thấy : $\sum \frac{x^3}{x^2+xy+y^2}- \sum \frac{y^3}{x^2+xy+y^2}$
$= \sum \frac{x^3-y^3}{x^2+xy+y^2}$
$=\sum \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x^2+xy+y^2}$
$= x-y+y-z+z-x = 0 $
$\rightarrow \sum \frac{x^3}{x^2+xy+y^2} =\sum \frac{y^3}{x^2+xy+y^2}$
$ 2 \sum \frac{x^3}{x^2+xy+y^2} =\sum \frac{x^3+y^3}{x^2+xy+y^2} =\sum \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{x^2+xy+y^2}$
Dễ thấy : $ \frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2} \ge \frac{1}{3}$
$\rightarrow 2\sum \frac{x^3}{x^2+xy+y^2} = \sum \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{x^2+xy+y^2} \ge \sum \frac{1}{3} (x+y)= \frac{2}{3}(x+y+z)$
$\rightarrow \sum \frac{x^3}{x^2+xy+y^2} \ge \frac{1}{3}(x+y+z) \ge \frac{1}{3}.3\sqrt[3]{xyz}=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huythcsminhtan: 19-05-2014 - 14:33
$\bigstar$ Số hoàn hảo giống như người hoàn hảo, rất hiếm có $\bigstar$
có một cách nữa:$\sum \frac{x^{2}}{x+y+y^{2}z}= \sum \frac{x^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}$
ta có :\frac{x^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}$$\geq \frac{2a-b}{3}$ (tự cm nhé)
nên \sum \frac{x^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}\geq \frac{1}{3}\left ( x+y+z \right )\geq 1
Thấy đúng thì like nha
Cho x, y, z>0 thỏa mãn xyz = 1
Tìm min $\frac{x^{2}}{x + y + y^{3}z} + \frac{y^{2}}{y + z + z^{3}x} +\frac{z^{2}}{x + z + x^{3}y}$
Một cách biến đổi khác
Ta có $M=VT=\sum \frac{x^3}{x^2+xy+y^2}=\sum (x-\frac{xy(x+y)}{x^2+xy+y^2})=\sum x-\sum \frac{xy(x+y)}{x^2+xy+y^2}$ $(1)$
Bằng $AM-GM$ ta chứng minh được rằng
$\sum \frac{xy(x+y)}{x^2+xy+y^2}=\sum \frac{xy(x+y)}{(x+y)^2-xy}\leqslant \sum \frac{4xy(x+y)}{3(x+y)^2}$
$\leqslant \sum \frac{(x+y)^3}{3(x+y)^2}=\sum \frac{x+y}{3}=\frac{2(x+y+z)}{3}(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow M\geqslant \frac{x+y+z}{3}\geqslant 1$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh