Chủ đề này có 3 trả lời

[Mai Pham]

Cho x, y, z>0 thỏa mãn xyz = 1

Tìm min $\frac{x^{2}}{x + y + y^{3}z} + \frac{y^{2}}{y + z + z^{3}x} +\frac{z^{2}}{x + z + x^{3}y}$

 

[huythcsminhtan]

$\sum \frac{x^2}{x+y+y^2z} = \sum  \frac{x^3}{x^2+xy+y^3zx}= \sum  \frac{x^3}{x^2+xy+y^2}$

 

Ta thấy : $\sum  \frac{x^3}{x^2+xy+y^2}- \sum \frac{y^3}{x^2+xy+y^2}$

 

$= \sum  \frac{x^3-y^3}{x^2+xy+y^2}$

 

$=\sum \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x^2+xy+y^2}$

 

$= x-y+y-z+z-x = 0 $

 

$\rightarrow  \sum \frac{x^3}{x^2+xy+y^2} =\sum \frac{y^3}{x^2+xy+y^2}$

 

$ 2 \sum \frac{x^3}{x^2+xy+y^2} =\sum \frac{x^3+y^3}{x^2+xy+y^2} =\sum \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{x^2+xy+y^2}$

 

Dễ thấy : $  \frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2} \ge   \frac{1}{3}$

 

$\rightarrow  2\sum \frac{x^3}{x^2+xy+y^2} = \sum \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{x^2+xy+y^2} \ge \sum \frac{1}{3} (x+y)= \frac{2}{3}(x+y+z)$

 

$\rightarrow \sum \frac{x^3}{x^2+xy+y^2} \ge  \frac{1}{3}(x+y+z) \ge  \frac{1}{3}.3\sqrt[3]{xyz}=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huythcsminhtan: 19-05-2014 - 14:33

[megamewtwo]

có một cách nữa:$\sum \frac{x^{2}}{x+y+y^{2}z}= \sum \frac{x^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}$

ta có :\frac{x^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}$$\geq \frac{2a-b}{3}$ (tự cm nhé)

nên \sum \frac{x^{3}}{x^{2}+xy+y^{2}}\geq \frac{1}{3}\left ( x+y+z \right )\geq 1

Thấy đúng thì like nha

[lahantaithe99]

Cho x, y, z>0 thỏa mãn xyz = 1

Tìm min $\frac{x^{2}}{x + y + y^{3}z} + \frac{y^{2}}{y + z + z^{3}x} +\frac{z^{2}}{x + z + x^{3}y}$

Một cách biến đổi khác 

 

Ta có $M=VT=\sum \frac{x^3}{x^2+xy+y^2}=\sum (x-\frac{xy(x+y)}{x^2+xy+y^2})=\sum x-\sum \frac{xy(x+y)}{x^2+xy+y^2}$ $(1)$

 

Bằng $AM-GM$ ta chứng minh được rằng

 

$\sum \frac{xy(x+y)}{x^2+xy+y^2}=\sum \frac{xy(x+y)}{(x+y)^2-xy}\leqslant \sum \frac{4xy(x+y)}{3(x+y)^2}$

 

$\leqslant \sum \frac{(x+y)^3}{3(x+y)^2}=\sum \frac{x+y}{3}=\frac{2(x+y+z)}{3}(2)$

 

Từ $(1);(2)\Rightarrow M\geqslant \frac{x+y+z}{3}\geqslant 1$