Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: ab+bc+ca=1
CMR: $\sum \sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b}\leq \frac{1}{abc}$
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: ab+bc+ca=1
CMR: $\sum \sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b}\leq \frac{1}{abc}$
THPT PHÚC THÀNH K98
Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày
Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay
Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/
My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: ab+bc+ca=1
CMR: $\sum \sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b}\leq \frac{1}{abc}$
Có: $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geqslant \frac{(a+b+c)^{3}}{9}$
Do đó: $VT\leqslant \sqrt[3]{9(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+6(a+b+c))}=\sqrt[3]{9.\frac{1+6abc(a+b+c)}{abc}}\leqslant \sqrt[3]{.\frac{27}{abc}}\leqslant \frac{1}{abc}$ (do $abc\leqslant \frac{1}{3\sqrt{3}}$)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn: ab+bc+ca=1
CMR: $\sum \sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b}\leq \frac{1}{abc}$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được: $\sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b}=\frac{1}{3}\sqrt[3]{\frac{3.9bc(1+6ab)}{abc}}\leqslant \frac{1}{3}.\frac{3+9bc+(1+6ab)}{3\sqrt[3]{abc}}$
Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\sum \sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b}\leqslant \frac{3}{\sqrt[3]{abc}}$
Mà $1=ab+bc+ca\geqslant 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow \sqrt[3]{abc}\geqslant 3abc$
Vậy $\sum \sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b}\leq \frac{1}{abc}(Q.E.D)$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 12-05-2021 - 19:45
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh