6 replies to this topic

[phamquanglam]

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn: 

$a+b+c\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

CMR: $\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq \frac{3}{2}$

[huyhoangfan]

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn: 

$a+b+c\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

CMR: $\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq \frac{3}{2}$

* Bài này mình nghĩ lâu rồi mà không dám làm vì sợ bị sai, nếu sai thì mong mọi người bỏ qua cho mình   .

Giải:

VT = 3 - $(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}) = 3-Q$. Theo hệ quả BĐT AM-GM, $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}\Rightarrow Q=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq \frac{9}{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3}$$\geq \frac{9}{6}$(vì $a+b+c\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$ và $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$) nên $3-Q\geq 3-\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$.(đpcm)

Edited by huyhoangfan, 07-07-2014 - 17:51.

[bestmather]

* Bài này mình nghĩ lâu rồi mà không dám làm vì sợ bị sai, nếu sai thì mong mọi người bỏ qua cho mình   .

Giải:

VT = 3 - $(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}) = 3-Q$. Theo hệ quả BĐT AM-GM, $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}\Rightarrow Q=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq \frac{9}{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3}$$\geq \frac{9}{6}$(vì $a+b+c\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$ và $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$) nên $3-Q\geq 3-\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$.(đpcm)

ngược dấu kìa bạn !

[huyhoangfan]

ngược dấu kìa bạn !

Bạn có thể nói rõ hơn được không! Mình thấy đúng mà.

[phamquanglam]

* Bài này mình nghĩ lâu rồi mà không dám làm vì sợ bị sai, nếu sai thì mong mọi người bỏ qua cho mình   .

Giải:

VT = 3 - $(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}) = 3-Q$. Theo hệ quả BĐT AM-GM, $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}\Rightarrow Q=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq \frac{9}{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3}$$\geq \frac{9}{6}$(vì $a+b+c\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$ và $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$) nên $3-Q\geq 3-\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$.(đpcm)

$\frac{9}{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3}$$\geq \frac{9}{6}$

Chỗ này sai này em!!!!

Vì $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3\Rightarrow \frac{1}{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}\leq \frac{1}{3}$

Em sai chỗ đó         không sao đâu!! cứ post thoải mái sai thì thôi

Edited by phamquanglam, 07-07-2014 - 23:35.

[huyhoangfan]

ngược dấu kìa bạn !

 

$\frac{9}{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3}$$\geq \frac{9}{6}$

Chỗ này sai này em!!!!

Vì $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3\Rightarrow \frac{1}{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}\leq \frac{1}{3}$

Em sai chỗ đó         không sao đâu!! cứ post thoải mái sai thì thôi.

 

 Anh Quanglam à! Em nghĩ hướng giải của em vẫn đúng (   không chắc lắm, em thử post lên mong mọi người xem bs giúp em).

Theo như anh Quanglam đã giúp em tìm ra chỗ sai thì: $Q\leq \frac{9}{6}\Rightarrow -Q\geq -\frac{9}{6} nên VT= 3-Q\geq 3-\frac{9}{6}=\frac{3}{2}.$ (dấu BĐT đúng với đề bài)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

 

P/S:   làm sai sai 2 chỗ.

Edited by huyhoangfan, 09-07-2014 - 16:38.

[DangHuyNgheAn]

$BDT\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a+1}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow 3abc+ab+bc+ca\geq a+b+c+3.(*)Lai co \sum \frac{a}{b}=\sum \frac{a^2}{ab}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}=>\sum a\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}=>ab+bc+ca\geq a+b+c(1)Lai co\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}\geq \frac{3a}{\sqrt[3]{abc}}.Chungminhtuong tu=>\sum \frac{a}{b}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}=>a+b+c\geq \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}=> abc\geq (2). Tu (1)(2)=>(*)dung=>DPCM$

Edited by DangHuyNgheAn, 09-07-2014 - 18:35.