2 replies to this topic

[King of Maths]

Tìm GTNN của $a^3+b^3+2c^3$

Attached Images

• 

Edited by King of Maths, 11-11-2014 - 20:18.

[LNT0802]

Ta sử dụng phương pháp cân bằng hệ số

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

$a^{3}$+$a^{3}$+$x^{3}$ $\geqslant$ 3x$a^{2}$ <=> 1/2(2$a^3$+$x^3$) $\geqslant$ 3/2x$a^2$

tương tự ta có 1/2(2$b^3$+$y^3$) $\geqslant$ 3/2y$b^2$

2$c^3$+$z^3$ $\geqslant$ 3z$c^2$

 

=> $a^3$+$b^3$+2$c^3$ $\geqslant$ 3/2x$a^2$+3/2y$b^2$+3z$c^2$ - 1/2$x^{3}$-1/2$y^{3}$-$z^{3}$ 

để sử dụng giả thiết ta cần chọn 3/2x=3/2y=3z <=> x=y=2z

để ý rằng $x^2$+$y^2$+$z^2$=12

tới đây giải hệ tìm x;y;z là xong

Edited by LNT0802, 11-11-2014 - 21:40.

[Phuong Thu Quoc]

Tìm GTNN của $a^3+b^3+2c^3$

Dùng Holder cho nhanh

$\left ( a^{3}+b^{3}+2c^{3} \right )\left ( a^{3}+b^{3}+2c^{3} \right )\left ( 1+1+\frac{1}{4} \right )\geq \left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{3}\Rightarrow a^{3}+b^{3}+2c^{3}\geq \sqrt{768}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=2c$