Chủ đề này có 2 trả lời

[congtuholi]

Cho $x,y,z > 0$ thỏa mãn $xyz=1$. Tìm GTNN của P

 

$P = \frac{x^{2}\left ( y+z \right )}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}} + \frac{y^{2}\left ( x+z \right )}{x\sqrt{x}+2z\sqrt{z}} + \frac{z^{2}\left ( x+y \right )}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}$

[nguyenhongsonk612]

Cho $x,y,z > 0$ thỏa mãn $xyz=1$. Tìm GTNN của P

 

$P = \frac{x^{2}\left ( y+z \right )}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}} + \frac{y^{2}\left ( x+z \right )}{x\sqrt{x}+2z\sqrt{z}} + \frac{z^{2}\left ( x+y \right )}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}$

Với giả thiết $xyz=1$ ta có

$\sum _{cyc}\frac{x^2(y+z)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}\geq \sum _{cyc}\frac{2x^2\sqrt{\frac{1}{x}}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}=\sum _{cyc}\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}$

Đặt $x\sqrt{x}=a;y\sqrt{y}=b;z\sqrt{z}=c$

$\Rightarrow P=\sum _{cyc}\frac{2a}{b+2c}=2.\sum _{cyc}\frac{a^2}{ab+2ac}\geq \frac{2(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ca)}\geq 2$

Vậy $P$ min $=2$. Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 30-11-2014 - 23:33

[congtuholi]

Với giả thiết $xyz=1$ ta có

$\sum _{cyc}\frac{x^2(y+z)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}\geq \sum _{cyc}\frac{2x^2\sqrt{\frac{1}{x}}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}=\sum _{cyc}\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}$

Đặt $x\sqrt{x}=a;y\sqrt{y}=b;z\sqrt{\sqrt{z}}=c$

$\Rightarrow P=\sum _{cyc}\frac{2a}{b+2c}=2.\sum _{cyc}\frac{a^2}{ab+2ac}\geq \frac{2(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ca)}\geq 2$

Vậy $P$ min $=2$. Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

 Nga~ E hiểu rồi ~ Cảm ơn ạ !!! ~ Mong được giúp đỡ thêm ạ~