Cho ba số $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=\frac{a}{a^3+b^2+c}+\frac{b}{b^3+c^2+a}+\frac{c}{c^3+a^2+b}$
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=\frac{a}{a^3+b^2+c}+\frac{b}{b^3+c^2+a}+\frac{c}{c^3+a^2+b}$
#1
Đã gửi 20-12-2014 - 19:14
- Dung Du Duong và 100oC thích
#2
Đã gửi 20-12-2014 - 19:55
Cho ba số $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=\frac{a}{a^3+b^2+c}+\frac{b}{b^3+c^2+a}+\frac{c}{c^3+a^2+b}$
Áp dụng BĐT Holder ta có $(a^3+b^2+c)(1+b+c)(1+1+c) \geqslant (a+b+c)^3=27$
$\Rightarrow \frac{a}{a^3+b^2+c}\leqslant \frac{a(1+b+c)(2+c)}{27}=\frac{2a+2ab+2ac+ac+abc+ac^2}{27}$
$\Rightarrow \sum \frac{a}{a^3+b^2+c}\leqslant \frac{2(a+b+c)+5(ab+bc+ca)+3abc+ac^2+a^2b+b^2c}{27}$
Đến đây sử dụng các bđt AM-GM cơ bản ta được
$ab+bc+ca\leqslant \frac{(a+b+c)^2}{3}=3$
$2abc\leqslant \frac{2(a+b+c)^3}{27}=2$
$a^2b+b^2c+c^2a+abc\leqslant \frac{4(a+b+c)^3}{27}$
Vậy $P \leqslant 1$
- nguyenhongsonk612, PolarBear154, Dung Du Duong và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 20-12-2014 - 20:01
*Cho ba số $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a+b+c=3$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=\frac{a}{a^3+b+c}+\frac{b}{b^3+c+a}+\frac{c}{c^3+a+b}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 100oC: 22-12-2014 - 22:07
- Dung Du Duong yêu thích
Hãy cố gắng để vượt qua mọi khó khăn !!! ๖ۣۜToán học
#4
Đã gửi 21-12-2014 - 01:06
Cho ba số $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=\frac{a}{a^3+b^2+c}+\frac{b}{b^3+c^2+a}+\frac{c}{c^3+a^2+b}$
Cách khác không sử dụng holder, dùng Bunhiacopxki
Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có
$ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3$
Theo BĐT Bunhiacopxki ta có
$P=\sum _{cyc}\frac{a\begin{pmatrix} \frac{1}{a}+1+c \end{pmatrix}}{(a^3+b^2+c)\begin{pmatrix} \frac{1}{a}+1+c \end{pmatrix}}\leq \sum _{cyc}\frac{1+a+ab}{(a+b+c)^2}\leq \frac{3+3+3}{9}=1$
Vậy $Max_{A}=1$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
- Phuong Mark, Dung Du Duong, hoanglong2k và 2 người khác yêu thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#5
Đã gửi 21-12-2014 - 19:56
Cách khác không sử dụng holder, dùng Bunhiacopxki
Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có
$ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3$
Theo BĐT Bunhiacopxki ta có
$P=\sum _{cyc}\frac{a\begin{pmatrix} \frac{1}{a}+1+c \end{pmatrix}}{(a^3+b^2+c)\begin{pmatrix} \frac{1}{a}+1+c \end{pmatrix}}\leq \sum _{cyc}\frac{1+a+ab}{(a+b+c)^2}\leq \frac{3+3+3}{9}=1$
Vậy $Max_{A}=1$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Bài này cũng có thể làm theo Cauchy trực tiếp ! Các bạn có thể biết thêm.
Hãy cố gắng để vượt qua mọi khó khăn !!! ๖ۣۜToán học
#6
Đã gửi 22-12-2014 - 00:47
*Cho ba số $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{a}{a^3+b+c}+\frac{b}{b^3+c+a}+\frac{c}{c^3+a+b}$
Tớ nghĩ bài này phải cho $a,b,c$ không âm và đề bài phải yêu cầu tìm Max
Lời giải:
Dự đoán dấu bằng khi $a=b=c=1$. Ta sẽ đi C/m $P \leq 1$
BĐT cần C/m $\Leftrightarrow \sum _{cyc}\frac{a}{a^3+3-a}\leq 1$
Ta có BĐT phụ sau $\frac{a}{a^3+3-a}\leq \frac{a+2}{9}\Leftrightarrow (a-1)^2(a^2+4a+6)\geq 0$ (luôn đúng)
Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng lại ta được
$P\leq \sum _{cyc}\frac{a+2}{9}=\frac{3+6}{9}=1$
Vậy $Max_{P}=1$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
- leduylinh1998 và 100oC thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#7
Đã gửi 22-12-2014 - 22:08
Tớ nghĩ bài này phải cho $a,b,c$ không âm và đề bài phải yêu cầu tìm Max
Tớ nhầm. Đã sửa đề
Hãy cố gắng để vượt qua mọi khó khăn !!! ๖ۣۜToán học
#8
Đã gửi 22-12-2014 - 22:13
* Cho các số $x,y$ thỏa điều kiện $x-2\sqrt{x+1} = 2\sqrt{y+2}-y$ . Tìm giá trị nhò nhất và giá trị lớn nhất của $P=x+y$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 100oC: 22-12-2014 - 22:27
- nguyenhongsonk612 yêu thích
Hãy cố gắng để vượt qua mọi khó khăn !!! ๖ۣۜToán học
#9
Đã gửi 23-12-2014 - 21:46
* Cho các số $x,y$ thỏa điều kiện $x-2\sqrt{x+1} = 2\sqrt{y+2}-y$ . Tìm giá trị nhò nhất và giá trị lớn nhất của $P=x+y$
$m=x+y$
$x-2\sqrt{x+1} = 2\sqrt{y+2}-y$
$\Leftrightarrow x+y=2\sqrt{y+2}+2\sqrt{x+1}\left\{\begin{matrix} a=\sqrt{x+1} & \\ b=\sqrt{y+2}& \end{matrix}\right.(a;b\geq 0)$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}-3=2a+2b & \\ a^{2}+b^{2}=m & \end{matrix}\right.$ có nghiệm a;b không âm $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=\frac{m-3}{2} & \\ a.b= \frac{m^{2}-10m+9}{8}& \end{matrix}\right.$ có nghiệm a;b không âm
suy ra $a;b$ là nghiệm của phương trình
$X^{2}-\frac{m-3}{2}X+\frac{m^{2}-10m+9}{8}=0 (2)$
để hệ có nghiệm $a;b$ không âm thì phương trình $(1)$ phải có 2 nghiệm không âm
tương đương với $\left\{\begin{matrix} \Delta \geq 0 & \\ S\geq 0 & \\ P\geq 0 & \end{matrix}\right.$
giải ra ta được đk của $m$
#10
Đã gửi 23-12-2014 - 22:23
$m=x+y$
$x-2\sqrt{x+1} = 2\sqrt{y+2}-y$
$\Leftrightarrow x+y=2\sqrt{y+2}+2\sqrt{x+1}\left\{\begin{matrix} a=\sqrt{x+1} & \\ b=\sqrt{y+2}& \end{matrix}\right.(a;b\geq 0)$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}-3=2a+2b & \\ a^{2}+b^{2}=m & \end{matrix}\right.$ có nghiệm a;b không âm $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=\frac{m-3}{2} & \\ a.b= \frac{m^{2}-10m+9}{8}& \end{matrix}\right.$ có nghiệm a;b không âm
suy ra $a;b$ là nghiệm của phương trình
$X^{2}-\frac{m-3}{2}X+\frac{m^{2}-10m+9}{8}=0 (2)$
để hệ có nghiệm $a;b$ không âm thì phương trình $(1)$ phải có 2 nghiệm không âm
tương đương với $\left\{\begin{matrix} \Delta \geq 0 & \\ S\geq 0 & \\ P\geq 0 & \end{matrix}\right.$
giải ra ta được đk của $m$
*Theo mình bạn nền sử dụng BĐT Bunhiacopxki thì nhanh hơn.
*Mình nói sơ cách làm bạn xem sao:
-Chuyển vế qua như bạn đúng rồi.
-Tiến hành bình phương, thu gọn đồng dạng.
-Tiến hành dùng BĐT cho vế chứa căn. ta thu ngay kết quả.
$ 9 - 3\sqrt{15} \leq P \leqant 9+ 3\sqrt{5} $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 100oC: 25-12-2014 - 00:16
Hãy cố gắng để vượt qua mọi khó khăn !!! ๖ۣۜToán học
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực trị
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh