Chủ đề này có 9 trả lời

[King of Maths]

Cho ba số $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
$P=\frac{a}{a^3+b^2+c}+\frac{b}{b^3+c^2+a}+\frac{c}{c^3+a^2+b}$

[25 minutes]

Cho ba số $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
$P=\frac{a}{a^3+b^2+c}+\frac{b}{b^3+c^2+a}+\frac{c}{c^3+a^2+b}$

Áp dụng BĐT Holder ta có $(a^3+b^2+c)(1+b+c)(1+1+c) \geqslant (a+b+c)^3=27$

$\Rightarrow \frac{a}{a^3+b^2+c}\leqslant \frac{a(1+b+c)(2+c)}{27}=\frac{2a+2ab+2ac+ac+abc+ac^2}{27}$

$\Rightarrow \sum \frac{a}{a^3+b^2+c}\leqslant \frac{2(a+b+c)+5(ab+bc+ca)+3abc+ac^2+a^2b+b^2c}{27}$

Đến đây sử dụng các bđt AM-GM cơ bản ta được

         $ab+bc+ca\leqslant \frac{(a+b+c)^2}{3}=3$

         $2abc\leqslant \frac{2(a+b+c)^3}{27}=2$

         $a^2b+b^2c+c^2a+abc\leqslant \frac{4(a+b+c)^3}{27}$

Vậy $P \leqslant 1$

[100oC]

*Cho ba số $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a+b+c=3$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
 

$P=\frac{a}{a^3+b+c}+\frac{b}{b^3+c+a}+\frac{c}{c^3+a+b}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 100oC: 22-12-2014 - 22:07

[nguyenhongsonk612]

Cho ba số $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
$P=\frac{a}{a^3+b^2+c}+\frac{b}{b^3+c^2+a}+\frac{c}{c^3+a^2+b}$

Cách khác không sử dụng holder, dùng Bunhiacopxki

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

$ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3$

Theo BĐT Bunhiacopxki ta có

$P=\sum _{cyc}\frac{a\begin{pmatrix} \frac{1}{a}+1+c \end{pmatrix}}{(a^3+b^2+c)\begin{pmatrix} \frac{1}{a}+1+c \end{pmatrix}}\leq \sum _{cyc}\frac{1+a+ab}{(a+b+c)^2}\leq \frac{3+3+3}{9}=1$

Vậy $Max_{A}=1$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

[100oC]

Cách khác không sử dụng holder, dùng Bunhiacopxki

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

$ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3$

Theo BĐT Bunhiacopxki ta có

$P=\sum _{cyc}\frac{a\begin{pmatrix} \frac{1}{a}+1+c \end{pmatrix}}{(a^3+b^2+c)\begin{pmatrix} \frac{1}{a}+1+c \end{pmatrix}}\leq \sum _{cyc}\frac{1+a+ab}{(a+b+c)^2}\leq \frac{3+3+3}{9}=1$

Vậy $Max_{A}=1$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài này cũng có thể làm theo Cauchy trực tiếp ! Các bạn có thể biết thêm. 

[nguyenhongsonk612]

*Cho ba số $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 

$P=\frac{a}{a^3+b+c}+\frac{b}{b^3+c+a}+\frac{c}{c^3+a+b}$

Tớ nghĩ bài này phải cho $a,b,c$ không âm và đề bài phải yêu cầu tìm Max

Lời giải:

Dự đoán dấu bằng khi $a=b=c=1$. Ta sẽ đi C/m $P \leq 1$

BĐT cần C/m $\Leftrightarrow \sum _{cyc}\frac{a}{a^3+3-a}\leq 1$

Ta có BĐT phụ sau $\frac{a}{a^3+3-a}\leq \frac{a+2}{9}\Leftrightarrow (a-1)^2(a^2+4a+6)\geq 0$ (luôn đúng)

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng lại ta được

$P\leq \sum _{cyc}\frac{a+2}{9}=\frac{3+6}{9}=1$

Vậy $Max_{P}=1$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

[100oC]

Tớ nghĩ bài này phải cho $a,b,c$ không âm và đề bài phải yêu cầu tìm Max

 Tớ nhầm. Đã sửa đề

[100oC]

* Cho các số $x,y$ thỏa điều kiện $x-2\sqrt{x+1} = 2\sqrt{y+2}-y$ . Tìm giá trị nhò nhất và giá trị lớn nhất của $P=x+y$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 100oC: 22-12-2014 - 22:27

[baotranthaithuy]

* Cho các số $x,y$ thỏa điều kiện $x-2\sqrt{x+1} = 2\sqrt{y+2}-y$ . Tìm giá trị nhò nhất và giá trị lớn nhất của $P=x+y$

$m=x+y$

$x-2\sqrt{x+1} = 2\sqrt{y+2}-y$

$\Leftrightarrow x+y=2\sqrt{y+2}+2\sqrt{x+1}\left\{\begin{matrix} a=\sqrt{x+1} & \\ b=\sqrt{y+2}& \end{matrix}\right.(a;b\geq 0)$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}-3=2a+2b & \\ a^{2}+b^{2}=m & \end{matrix}\right.$ có nghiệm a;b không âm $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=\frac{m-3}{2} & \\ a.b= \frac{m^{2}-10m+9}{8}& \end{matrix}\right.$  có nghiệm a;b không âm 

suy ra $a;b$ là nghiệm của phương trình 

 $X^{2}-\frac{m-3}{2}X+\frac{m^{2}-10m+9}{8}=0                 (2)$

để hệ có nghiệm $a;b$ không âm thì phương trình $(1)$ phải có 2 nghiệm không âm

tương đương với $\left\{\begin{matrix} \Delta \geq 0 & \\ S\geq 0 & \\ P\geq 0 & \end{matrix}\right.$

giải ra ta được đk của $m$ 

[100oC]

$m=x+y$

$x-2\sqrt{x+1} = 2\sqrt{y+2}-y$

$\Leftrightarrow x+y=2\sqrt{y+2}+2\sqrt{x+1}\left\{\begin{matrix} a=\sqrt{x+1} & \\ b=\sqrt{y+2}& \end{matrix}\right.(a;b\geq 0)$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}-3=2a+2b & \\ a^{2}+b^{2}=m & \end{matrix}\right.$ có nghiệm a;b không âm $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=\frac{m-3}{2} & \\ a.b= \frac{m^{2}-10m+9}{8}& \end{matrix}\right.$  có nghiệm a;b không âm 

suy ra $a;b$ là nghiệm của phương trình 

 $X^{2}-\frac{m-3}{2}X+\frac{m^{2}-10m+9}{8}=0                 (2)$

để hệ có nghiệm $a;b$ không âm thì phương trình $(1)$ phải có 2 nghiệm không âm

tương đương với $\left\{\begin{matrix} \Delta \geq 0 & \\ S\geq 0 & \\ P\geq 0 & \end{matrix}\right.$

giải ra ta được đk của $m$ 

*Theo mình bạn nền sử dụng BĐT Bunhiacopxki thì nhanh hơn.
*Mình nói sơ cách làm bạn xem sao:
-Chuyển vế qua như bạn đúng rồi.
-Tiến hành bình phương, thu gọn đồng dạng.
-Tiến hành dùng BĐT cho vế chứa căn. ta thu ngay kết quả.
      $ 9 - 3\sqrt{15} \leq P \leqant 9+ 3\sqrt{5} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 100oC: 25-12-2014 - 00:16