Chủ đề này có 9 trả lời

[Truong Gia Bao]

1).Giả sử x và y là các số dương thỏa mãn: $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{2}$.   Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+y$

2) Cho $a,b,c\in [ \frac{1}{2},2 ]$. Chứng minh rằng: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq \frac{225}{16}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 13-02-2015 - 01:03

[Nguyen Minh Hai]

1).Giả sử x và y là các số dương thỏa mãn: $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{2}$.   Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+y$

 

Ta có: $\frac{1}{2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \geq \frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^2\geq \frac{1}{2}(\frac{4}{x+y})^2=\frac{8}{(x+y)^2}$

$\rightarrow (x+y)^2 \geq 16\rightarrow x+y \geq 4$

[Truong Gia Bao]

Ta có: $\frac{1}{2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \geq \frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^2

Tại sao vậy bạn???

[Nguyen Minh Hai]

Tại sao vậy bạn???

Áp dụng BĐT Bunyakovsky và Schwarz. 

[Truong Gia Bao]

Ta có: $\frac{1}{2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \geq \frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^2\geq \frac{1}{2}(\frac{4}{x+y})^2=\frac{8}{(x+y)^2}$

$\rightarrow (x+y)^2 \geq 16\rightarrow x+y \geq 4$

mình hiểu rồi bạn, còn ý 2) thì sao

[nmtuan2001]

2) Xem ở http://diendantoanho...bfrac1c-leq-10/, cách giải tương tự.

[dogsteven]

Bài cuối dùng kỹ thuật hàm lồi. Giả sử $a\geqslant b\geqslant c$ và đặt $f(a,b,c)=(a+b+c)(a^{-1}+b^{-1}+c^{-1})$

Khi đó $f(a,b,c)\leqslant f(2,b,c)\leqslant f\left(2,b,\dfrac{1}{2}\right)\leqslant f\left(2,\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)=f\left(2,2,\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{27}{2}$

[nguyenhongsonk612]

 

2) Cho $a,b,c\in [ \frac{1}{2},2 ]$. Chứng minh rằng: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq \frac{225}{16}$

Bài này C/m $\leq \frac{27}{2}$

Bài này có thể dùng định lý sau

Xét hàm số $f(x)=ax^2+bx+c$ trên miền $D=[x_1;x_2]$.

Đặt $m=min\begin{Bmatrix} f(x_1);f(x_2) \end{Bmatrix}$ và $M=max\begin{Bmatrix} f(x_1);f(x_2) \end{Bmatrix}$. 

Vậy khi $a>0$ thì $f(x) \leq M$

Áp dụng vào bài toán. Quy đồng mẫu số ta cần C/m $2(a+b+c)(ab+bc+ca)-27abc\leq 0$

Cố định $b,c$ ta thấy $f(a)$ là một tam thức bậc $2$ với hệ số cao nhất dương nên GTLN mà hàm số đạt được tại

$a=\frac{1}{2}$ hoặc $a=2$

Tương tự $f(b);f(c)$. Do tính hoán vị nên ta chỉ cần xét $4$ trường hợp sau

$(a;b;c)=(2;2;2);(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2});(\frac{1}{2};\frac{1}{2};2);(2;2;\frac{1}{2})$

Bằng tính toán trực tiếp ta thấy BĐT đúng

Vậy BĐT được C/m. Dấu "=" $\Leftrightarrow$ trong $a,b,c$ có hai số bằng $\frac{1}{2}$, một số bằng $2$ hoặc có hai số bằng $2$, một số bằng $\frac{1}{2}$ 

[VASILE CIRTOAJE]

bài này có thể giải theo cách ph v trìn đọ thcs

[Hoangtheson2611]

Câu 1 : 

$\frac{1}{2}\geqslant \frac{2}{xy}=> xy \geqslant 4 => (x+y)^{2}\geqslant 4xy\geqslant 16=> x+y\geqslant 4$

Dấu "=" xảy ra khi x=y=2