Chủ đề này có 3 trả lời

[100oC]

TOPIC này lập ra dành cho mọi người đam mê Bất đẳng thức.

 

BẤT ĐẲNG THỨC tuy khó nhưng đổi lại thì chúng ta có thêm nhiều kinh nghiệp hơn trong việc giải toán. Không những có những bài bất đẳng thức khó, song có những bài nhìn rất dễ dàng. Cụ thể ta vào bài toán đầu tiên: Và mình mong sẽ được nhiệt tình ủng hộ của các bạn đam mê Bất đẳng thức toán học tham gia góp và xây dựng TOPIC này.

 

 

 

Bài toán 1:

 

Cho $x>0,y>0$ thỏa mãn : $(x+\sqrt{1+x^2})(y+\sqrt{1+y^2})=2015$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=x+y$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 100oC: 15-02-2015 - 14:19

[hoanglong2k]

 

Bài toán 1:

 

Cho $x>0,y>0$ thỏa mãn : $(x+\sqrt{1+x^2})(y+\sqrt{1+y^2})=2015$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=x+y$.

Làm phát mở đầu cho topic

Ta có  $(x+\sqrt{1+x^2})(y+\sqrt{1+y^2})=2015$

          $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y+\sqrt{1+y^2}=2015(\sqrt{1+x^2}-x)\\ x+\sqrt{1+x^2}=2015(\sqrt{1+y^2}-y) \end{matrix}\right.$

         Cộng 2 phương trình trên ta thu được:

          $\Rightarrow 2016P=2014(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2})$

         Áp dụng bất đẳng thức Minkovski ta có: 

          $2014(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2})\geq 2014.\sqrt{4+P^2}$

          $\Rightarrow 2016P\geq 2014.\sqrt{4+P^2}$

          $\Rightarrow 1008^2.P^2\geq 1007^2.(4+P^2)$

          $\Rightarrow P^2\geq \frac{2014^2}{2015}$

          $\Rightarrow P\geq \frac{2014}{\sqrt{2015}}$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=\frac{1007}{\sqrt{2015}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 15-02-2015 - 20:27

[100oC]

Spam tí : Các bạn cần ghi những bất đẳng thức mà bạn sử dụng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 100oC: 15-02-2015 - 20:25

[dogsteven]

Xin góp 1 bài.

Bài toán 2. Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$$\dfrac{1}{b^2+c^2+2}+\dfrac{1}{c^2+a^2+2}+\dfrac{1}{a^2+b^2+2}\leqslant \dfrac{3}{4}$$