Chủ đề này có 2 trả lời

[vda2000]

Đề bài:

 

Cho $x,y,z$ là các số nguyên thỏa mãn: $(x-y)(y-z)(z-x)=xyz$. Chứng minh rằng: $xyz$ chia hết cho $27$.

 

P/S: Cần gấp!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 17-02-2015 - 20:45

[vda2000]

Tự đăng tự giải vậy !
 
Ta có: $(x-y)(y-z)(z-x)=xyz$
 
Nếu trong 3 số $x,y,z$ không có số nào chia hết cho $3$ thì theo nguyên lí Đi-rích-lê, tồn tại ít nhất $2$ số có cùng số dư nên hiệu của chúng chia hệt cho $3$.
$=> 3|(x-y)(y-z)(z-x)$
$=> 3|xyz$ (vì $(x-y)(y-z)(z-x)=xyz$)
$=>$ Vô lí
$=>$ Loại.
 
Do đó trong $3$ số $x,y,z$ tồn tại ít nhất một số chia hết cho $3$ (giả sử $3|x$ thì $3|xyz$) .
Xét các trường hợp sau:
 
+) $y,z$ chia $3$ dư $1;2$
=> $x-y;y-z;z-x$ đều không chia hết cho $3$ 
$=> (x-y)(y-z)(z-x)$ không chia hết cho $3$
$=>$ $xyz$ không chia hết cho $3$ (Vô lí)
 
+) $y;z$ không chia hết cho 3 nhưng cùng số dư.
Dễ dàng chứng minh: $(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=3(x-y)(y-z)(z-x)$
$=>3|(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3$  
Vì $3|x$ và $3|y-z$ và $y,z$ không chia hết cho $3$ nên $(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3$ không chia hết cho $3$ 
( vì nó sẽ đồng dư với $1^3+0^3+1^3=2$ hoặc $2^3+0^3+2^3=16$ nên chia dư $2$ hoặc $1$).
$=>$ Vô lí.
$=>$ Loại.
 
Do đó, $3|x,y,z$
           $=>$ $27|xyz$ 
           $=>$ $Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 18-02-2015 - 18:55

[vda2000]

Tự đăng tự giải vậy !
 
Ta có: $(x-y)(y-z)(z-x)=xyz$
 
Nếu trong 3 số $x,y,z$ không có số nào chia hết cho $3$ thì theo nguyên lí Đi-rích-lê, tồn tại ít nhất $2$ số có cùng số dư nên hiệu của chúng chia hệt cho $3$.
$=> 3|(x-y)(y-z)(z-x)$
$=> 3|xyz$ (vì $(x-y)(y-z)(z-x)=xyz$)
$=>$ Vô lí
$=>$ Loại.
 
Do đó trong $3$ số $x,y,z$ tồn tại ít nhất một số chia hết cho $3$ (giả sử $3|x$ thì $3|xyz$) .
Xét các trường hợp sau:
 
+) $y,z$ chia $3$ dư $1;2$
=> $x-y;y-z;z-x$ đều không chia hết cho $3$ 
$=> (x-y)(y-z)(z-x)$ không chia hết cho $3$
$=>$ $xyz$ không chia hết cho $3$ (Vô lí)
 
+) $y;z$ không chia hết cho 3 nhưng cùng số dư.
Dễ dàng chứng minh: $(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=3(x-y)(y-z)(z-x)$
$=>3|(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3$  
Vì $3|x$ và $3|y-z$ và $y,z$ không chia hết cho $3$ nên $(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3$ không chia hết cho $3$ 
( vì nó sẽ đồng dư với $1^3+0^3+1^3=2$ hoặc $2^3+0^3+2^3=16$ nên chia dư $2$ hoặc $1$).
$=>$ Vô lí.
$=>$ Loại.
 
Do đó, $3|x,y,z$
           $=>$ $27|xyz$ 
           $=>$ $Q.E.D$

Mình nhầm rồi ở chỗ gạch đỏ, haizzzzzzzzzzzz!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 18-02-2015 - 19:11