Chủ đề này có 2 trả lời

[hoanglong2k]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh:

     $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[11]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}$

[dogsteven]

Bài này uvw.

[lahantaithe99]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh:

     $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[11]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}$

 

Đại khái là ta có một BĐT phụ như sau:

 

Cho $a,b,c>0$ thì $5(a+b+c)^6\geq 729abc(a^3+b^3+c^3+2abc)$

 

Áp dụng BĐT trên vào bài toán và dựa vào đk $abc=1$ ta có $5(a+b+c)^6\geq 729(a^3+b^3+c^3+2)$

 

$\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[6]{\frac{a^3+b^3+c^3+2}{5}}$

 

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ thì 

 

$\frac{a^3+b^3+c^3}{3}+\frac{a^3+b^3+c^3}{3}+\frac{a^3+b^3+c^3}{3}+1+1\geq 5\sqrt[5]{\frac{(a^3+b^3+c^3)^3}{27}}$

 

Do đó mà ta thu được $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[10]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}$

 

Mặt khac với $abc=1$ ta dễ thấy $\sqrt[10]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}\geq \sqrt[11]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}$

 

Do đó ta có đpcm