Chủ đề này có 4 trả lời

[Linhh Chii]

Cho a,b,c>0 và thỏa mãn a+b+c=2.Tìm max $P=\frac{ab}{\sqrt{2c+ab}}+\frac{bc}{\sqrt{2a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{2b+ca}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Linhh Chii: 17-03-2015 - 20:41

[thienbinh2000]

Cho a,b,c>0 và thỏa mãn a+b+c=2.Tìm max $P=\frac{ab}{\sqrt{2c+ab}}+\frac{bc}{\sqrt{2a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{2b+ca}}$

a+b+cc=2 là sao bạn?

[vda2000]

Cho a,b,c>0 và thỏa mãn a+b+c=2.Tìm max $P=\frac{ab}{\sqrt{2c+ab}}+\frac{bc}{\sqrt{2a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{2b+ca}}$

Ta có:

$P=\sum\frac{ab}{\sqrt{2c+ab}}=\sum\frac{ab}{\sqrt{(a+b+c)c+ab}}$(vì $a+b+c=2$)

$\Leftrightarrow P=\sum\frac{ab}{\sqrt{c(a+c)+bc+ac}}=\sum\frac{ab}{\sqrt{(a+c)(b+c)}}$

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy$, ta có:

$P=\sum\sqrt{\frac{ab.ab}{(a+c)(b+c)}}\leq (\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}):4=(\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ac+bc}{a+b}+\frac{ba+ca}{b+a}):4=\frac{a+b+c}{4}=\frac{1}{2}$

Do đó, $max P=\frac{1}{2}$ tại $a=b=c=\frac{2}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 17-03-2015 - 20:50

[yeutoanmaimai1]

http://diendantoanho...fraccasqrtca2b/

[Dinh Xuan Hung]

Cho a,b,c>0 và thỏa mãn a+b+c=2.Tìm max $P=\frac{ab}{\sqrt{2c+ab}}+\frac{bc}{\sqrt{2a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{2b+ca}}$

$\frac{ab}{\sqrt{2c+ab}}=\frac{ab}{\sqrt{c(a+b+c)+ab}}= \frac{ab}{\sqrt{(a+c)(b+c)}}\leq \frac{1}{2}\left [ \frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c} \right ]$

CMTT:$\frac{bc}{\sqrt{2a+bc}}\leq \frac{1}{2}\left [ \frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c} \right ]$

$\frac{ac}{\sqrt{2b+ac}}\leq \frac{1}{2}\left [ \frac{ac}{b+c}+\frac{ac}{a+b} \right ]$

$\Rightarrow P=\sum \frac{ab}{\sqrt{2c+ab}}\leq \frac{1}{2}\left [ \sum \frac{a(b+c)}{b+c} \right ]=\frac{1}{2}(a+b+c)=1$

DBXR khi $a=b=c=\frac{2}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 17-03-2015 - 20:55