1,Cho $a,b,c$ thỏa mãn $-2\leq a,b,c\leq 5$ và $a+2b+3c\leq 2$
Chứng minh $a^{2}+2b^{2}+3c^{2}\leq 66$
2, Cho $-2\leq a,b,c\leq 2$ và $a+b+c=3$
Tìm GTLN của $\sqrt{4-a^{2}}+\sqrt{4-b^{2}}+\sqrt{4-c^{2}}$
1/ Ta có: $-2\leq a\leq 5$
$\Leftrightarrow (a+2)(a-5)\leq 0$
$\Leftrightarrow a^2-3a-10\leq 0$
$\Leftrightarrow a^2\leq 3a+10$
Tương tự với $b;c$, ta có: $b^2\leq 3b+10$
$c^2\leq 3c+10$
Do đó: $a^2+2b^2+3c^2\leq 3(a+2b+3c)+60\leq 3.2+60=66$ (Vì $a+2b+3c\leq 2$)
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=c=-2;b=5$
2/ Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$, ta có:
$\sum\sqrt{3.(4-a^2)}\leq\sum\frac{3+4-a^2}{2}=\sum\frac{7-a^2}{2}$
$\Leftrightarrow\sum\sqrt{4-a^2}\leq\frac{1}{2\sqrt{3}}(21-\sum a^2))$
Lại có: $3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2=9$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq 3$
Do đó, $\sum\sqrt{4-a^2}\leq\frac{1}{2\sqrt{3}}(21-3)=3\sqrt{3}$
Vậy $max =3\sqrt{3}$ tại $a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 18-03-2015 - 19:43