Chủ đề này có 2 trả lời

[yeutoanmaimai1]

1,Cho $a,b,c$ thỏa mãn $-2\leq a,b,c\leq 5$ và $a+2b+3c\leq 2$

Chứng minh $a^{2}+2b^{2}+3c^{2}\leq 66$

2, Cho $-2\leq a,b,c\leq 2$ và $a+b+c=3$

Tìm GTLN của $\sqrt{4-a^{2}}+\sqrt{4-b^{2}}+\sqrt{4-c^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoanmaimai1: 18-03-2015 - 18:52

[vda2000]

1,Cho $a,b,c$ thỏa mãn $-2\leq a,b,c\leq 5$ và $a+2b+3c\leq 2$

Chứng minh $a^{2}+2b^{2}+3c^{2}\leq 66$

2, Cho $-2\leq a,b,c\leq 2$ và $a+b+c=3$

Tìm GTLN của $\sqrt{4-a^{2}}+\sqrt{4-b^{2}}+\sqrt{4-c^{2}}$

1/ Ta có: $-2\leq a\leq 5$

$\Leftrightarrow (a+2)(a-5)\leq 0$

$\Leftrightarrow a^2-3a-10\leq 0$

$\Leftrightarrow a^2\leq 3a+10$

Tương tự với $b;c$, ta có: $b^2\leq 3b+10$

$c^2\leq 3c+10$

Do đó: $a^2+2b^2+3c^2\leq 3(a+2b+3c)+60\leq 3.2+60=66$ (Vì $a+2b+3c\leq 2$)

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=c=-2;b=5$

 

2/ Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$, ta có:

$\sum\sqrt{3.(4-a^2)}\leq\sum\frac{3+4-a^2}{2}=\sum\frac{7-a^2}{2}$

$\Leftrightarrow\sum\sqrt{4-a^2}\leq\frac{1}{2\sqrt{3}}(21-\sum a^2))$

Lại có: $3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2=9$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq 3$

Do đó, $\sum\sqrt{4-a^2}\leq\frac{1}{2\sqrt{3}}(21-3)=3\sqrt{3}$

Vậy $max =3\sqrt{3}$ tại $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 18-03-2015 - 19:43

[dogsteven]

Bài 2 cho biên chắc đề là tìm giá trị nhỏ nhất. Ở đây hoàn toàn giả sử $a=\text{max}\{a,b,c\}$

Ta sẽ chứng minh $\sqrt{4-b^2}+\sqrt{4-c^2}\geqslant \sqrt{4-(b+c-2)^2}\Leftrightarrow \sqrt{(4-b^2)(4-c^2)}+(b-2)(c-2)\geqslant 0$ luôn đúng

Do đó $BT\geqslant \sqrt{4-a^2}+\sqrt{4-(1-a^2)}\geqslant \sqrt{-2a^2+2a+3}=\sqrt{2(a+1)(2-a)+3}\geqslant \sqrt{3}$