Chủ đề này có 3 trả lời

[khanhlinh8b]

Cho a, b, c là 3 số dương và $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$

Chứng minh: $\frac{a+b}{2a-b}+\frac{b+c}{2c-b}\geq 4$

[vda2000]

Cho a, b, c là 3 số dương và $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$

Chứng minh: $\frac{a+b}{2a-b}+\frac{b+c}{2c-b}\geq 4$

Ta có: $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$

$\Leftrightarrow\frac{2}{b}-\frac{1}{a}=\frac{1}{c}$

$\Leftrightarrow\frac{2a-b}{ab}=\frac{1}{c}$

$\Leftrightarrow 2a-b=\frac{ab}{c}$

$\Leftrightarrow\frac{a+b}{2a-b}=\frac{a+b}{\frac{ab}{c}}=\frac{ac+bc}{ab}=\frac{c}{b}+\frac{c}{a}$

Tương tự, $\frac{b+c}{2c-b}=\frac{ab+ac}{bc}=\frac{a}{c}+\frac{a}{b}$

Ta có: $VT=\frac{a+c}{b}+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})$

Từ gt: $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}\geq\frac{4}{a+c}$

$\Leftrightarrow a+c\geq 2b$

$\Leftrightarrow\frac{a+c}{b}\geq 2$

Mà $\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\geq 2.\sqrt{\frac{a}{c}.\frac{c}{a}}=2$

Cộng vào ta có $Q.E.D$

[shinichikudo201]

Cho a, b, c là 3 số dương và $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$

Chứng minh: $\frac{a+b}{2a-b}+\frac{b+c}{2c-b}\geq 4$

Từ $GT$ suy ra $b=\frac{2ac}{a+c}$

Thay vào rút gọn rồi dùng $AM-GM$ (bài này dễ mà)

[congdaoduy9a]

Ta có $b=\frac{2ac}{a+c}$ Thay vào bđt ta được

 $\frac{a^{2}+3ac}{2a^{2}}+\frac{c^{2}+3ac}{2c^{2}}\geq 4$

$\Leftrightarrow \frac{3c}{2a}+\frac{3a}{2c}\geq 3$

$\Leftrightarrow \frac{a}{c}+\frac{c}{a}\geq 2$(đúng )