Chủ đề này có 2 trả lời

[the man]

Cho $a,b,c \geq 0; a+b+c=2$.

Chứng minh $a^3+b^3+c^3\leq 1+\frac{1}{2}(a^4+b^4+c^4)$

                                 

[nhungvienkimcuong]

Cho $a,b,c \geq 0; a+b+c=2$.

Chứng minh $a^3+b^3+c^3\leq 1+\frac{1}{2}(a^4+b^4+c^4)$

ta có $2\sum a^3-\sum a^4=\sum a^3(2-a)=\sum a^3(b+c)\leq \left ( \sum ab \right )\left ( \sum a^2 \right )\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{2\sum ab+\sum a^2}{2} \right )^2=2$

do đó bđt được chứng minh

dấu bằng xảy ra khi $\boxed{(a,b,c)\in \left \{ 1,0,0 \right \},\left \{ 0,1,0 \right \},\left \{ 0,0,1 \right \}}$

[KietLW9]

Ta có: $1=\frac{(a+b+c)^4}{16}=\frac{[a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)]^2}{16}\geqslant \frac{4(a^2+b^2+c^2).2(ab+bc+ca)}{16}=\frac{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)}{2}$

$\Leftrightarrow 2\geqslant (a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)=a^3(b+c)+b^3(c+a)+c^3(a+b)+abc(a+b+c)\geqslant a^3(b+c)+b^3(c+a)+c^3(a+b)=a^3(2-a)+b^3(2-b)+c^3(2-c)\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\leq 1+\frac{1}{2}(a^4+b^4+c^4)$

Ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi trong 3 số $a,b,c$ có một số bằng 0 và 2 số bằng 1.