Bài 168(Hungary MO): Cho a,b,c>0. CMR nếu a+b+c= 2(ab+ca+ab). Tìm Min biểu thức sau:
P=$\sum \frac{a^3+b^2}{a^2+b^2}$
ta có;$a+b+c=2(ab+bc+ac)\leq \frac{2}{3}(a+b+c)^2\Leftrightarrow \frac{3}{2}\leq (a+b+c)$
giả sử :
$a\geq c\geq b$ $\Leftrightarrow$ $a\geq \frac{1}{2}$
$a+b-ab=2c(a+b-\frac{1}{2})+ab> 0$
$\sum \frac{a^3+b^2}{a^2+b^2}=\sum \frac{a^3-a^2}{a^2+b^2}+3$
xét hiệu:
$\frac{a^3-a^2}{a^2+b^2}+\frac{b^3-b^2}{b^2+c^2}\geq \frac{a^3-a^2}{a^2+c^2}+\frac{b-1}{2}$
$\Leftrightarrow (a^3-a^2)(\frac{c^2-b^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)})+(b^3-b^2)(\frac{b^2-c^2}{2b^2(b^2+c^2)})\geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{a^3-a^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}\geq \frac{b^3-b^2}{2b^2(b^2+c^2)}=\frac{b-1}{2(b^2+c^2)}$
$\Leftrightarrow 2(a^3b^2+a^3c^2)+a^4+a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2\geq a^4b+b^3a^2+a^2c^2b+b^3c^2+2(a^2b^2+a^2c^2)$
$\Leftrightarrow (a-b)(a^2b^2+2a^2c^2+b^2c^2+(a+b-ab)(a^2-c^2))\geq 0$
$P\geq \frac{a^3-a^2}{a^2+c^2}+\frac{c^3-c^2}{a^2+c^2}+\frac{b-1}{2}+3\geq \frac{a^3+c^3}{a^2+c^2}+\frac{b}{2}+\frac{3}{2}$
lại có:
$a^3+c^3\geq ac(a^2+c^2)\Leftrightarrow 2(a^3+c^3)\geq (a+c)(a^2+c^2)\Leftrightarrow a^3+c^3\geq \frac{(a+c)(a^2+c^2)}{2}$
$\Rightarrow P\geq \sum \frac{a}{2}+\frac{3}{2}\geq \frac{9}{4}$
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