Chủ đề này có 4 trả lời

[hoctrocuaZel]

$x,y,z>0:\sum x^2=3.Min_A=\sum \frac{x^5}{y^3+z^3}+\sum x^4$

[vda2000]

$x,y,z>0:\sum x^2=3.Min_A=\sum \frac{x^5}{y^3+z^3}+\sum x^4$

Ta có: $(x^2+y^2+z^2)(x^4+y^4+z^4)\geq (x^3+y^3+z^3)^2$ nên: $3(x^4+y^4+z^4)\geq (x^3+y^3+z^3)^2$ $(1)$

Lại có: $(x^3+y^3+z^3)(x+y+z)\geq (x^2+y^2+z^2)^2=3^2=9$

Ta có: $3(x^2+y^2+z^2)\geq (x+y+z)^2$ nên $3\geq x+y+z$

Do đó, $3(x^3+y^3+z^3)\geq 9$ nên $x^3+y^3+z^3\geq 3$ $(2)$

Từu $(1),(2)$ suy ra: $x^4+y^4+z^4\geq x^3+y^3+z^3$

Áp dụng Cauchy:

$\frac{x^5}{y^3+z^3}+\frac{x^5}{y^3+z^3}+\frac{y^3+z^3}{4}+\frac{y^3+z^3}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\geq 10.\sqrt[10]{\frac{x^{10}}{(y^3+z^3)^2}.\frac{(y^3+z^3)^2}{16}.\frac{1}{2^6}}$

Nên :$\frac{2x^5}{y^3+z^3}+\frac{1}{2}(y^3+z^3)+3\geq 5x^2$

Do đó, $\frac{x^5}{y^3+z^3}\geq \frac{5x^2}{2}-\frac{1}{4}(y^3+z^3)-\frac{3}{2}$

$\sum\frac{x^5}{y^3+z^3}\geq\frac{5}{2}(x^2+y^2+z^2)-\frac{x^3+y^3+z^3}{2}-\frac{9}{2}=3-\frac{x^3+y^3+z^3}{2}$

Mà $x^4+y^4+z^4\geq x^3+y^3+z^3$ nên: 

$A\geq 3+\frac{x^3+y^3+z^3}{2}\geq 3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vda2000: 16-05-2015 - 20:38

[tonarinototoro]

$x,y,z>0:\sum x^2=3.Min_A=\sum \frac{x^5}{y^3+z^3}+\sum x^4$

$A=\sum \frac{x^{6}}{xy^{3}+xz^{3}}\geq \frac{\left ( \sum x^{3} \right )^{2}}{\sum \left ( x^{3} y+xy^{3}\right )}$

1,$x^{4}+y^{4}\geq x^{3}y+xy^{3}\Leftrightarrow \left ( x-y \right )^{2}\left ( x+xy+y^{2} \right )\geq 0\rightarrow$ luôn đúng với $x,y>0$$\Rightarrow \sum \left ( x^{3}y+xy^{3} \right )\leq 2\sum x^{4}$

2,$x^{3}+x^{3}+1\geq 3x^{2}\Rightarrow 2\sum x^{3}\geq 3\sum x^{2}=9\Rightarrow \sum x^{3}\geq 3$

3,$\sum x^{4}\geq \frac{\left ( \sum x^{2} \right )^{2}}{3}=3$

Từ (1),(2),(3) $\Rightarrow A\geq \frac{9}{2\sum x^{4}}+\sum x^{4}= \frac{9}{2\sum x^{4}}+\frac{\sum x^{4}}{2}+\frac{1}{2}\sum x^{4}\geq 3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$

[ZzNightWalkerZz]

Áp dụng Cauchy:

$\frac{x^5}{y^3+z^3}+\frac{x^5}{y^3+z^3}+\frac{y^3+z^3}{4}+\frac{y^3+z^3}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\geq 10.\sqrt[10]{\frac{x^{10}}{(y^3+z^3)^2}.\frac{(y^3+z^3)^2}{16}.\frac{1}{2^6}}$

Nên :$\frac{2x^5}{y^3+z^3}+\frac{1}{2}(y^3+z^3)+3\geq 5x^2$

 

 

Biến đổi sai. $5x$ không phải là $5x^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ZzNightWalkerZz: 17-05-2015 - 20:50

[ZzNightWalkerZz]

 $2\sum x^{3}\geq 3\sum x^{2}$

$2\sum x^{2}$ nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ZzNightWalkerZz: 17-05-2015 - 20:58