Chủ đề này có 1 trả lời

[VASILE CIRTOAJE]

Cho a,b,c>0 thõa mãn abc=(1-a)(1-b)(1-c)

Tìm min

                      S=$a^{3}+b^{3}+c^{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 18-05-2015 - 11:39

[ZzNightWalkerZz]

Đặt $\frac{a}{1 -a}=x; \frac{b}{1-b}=y; \frac{c}{1-c}=z=>xyz=1$

$=> a=\frac{x}{x+1}; b=\frac{y}{y+1}; c=\frac{z}{z+1}$

$=> S = \frac{x^3}{(x+1)^3}+ \frac{y^3}{(y+1)^3}+ \frac{z^3}{(z+1)^3}$

Xét $\frac{x^3}{(x+1)^3} =\frac{x^3}{x^3 +3x^2 +3x+1}=\frac{x^3}{x^3 +3x^2 +3x+xyz}=\frac{x^2}{x^2+3x+3+yz}$  

$=> S\geq \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx+3(x+y+z)+9}$

Do $xy+yz+zx\geq3; x+y+z\geq 3(Do xyz=1)$

$=>S\geq\frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx+(x+y+z)^2+6+xy+yz+zx}=\frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)^2+6}$

$\geq\frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)^2+\frac{2}{3}.(x+y+z)^2}=\frac{3}{8}$

Dấu $= : x = y = z = 1 => a = b = c = \frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ZzNightWalkerZz: 21-05-2015 - 11:06