Chủ đề này có 2 trả lời

[dogsteven]

Lạn qua lạn lại trên mạng và thấy bài này rất hay

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng:

$\sqrt{\dfrac{a(b+c)}{b^2+c^2}}+\sqrt{\dfrac{b(c+a)}{c^2+a^2}}+\sqrt{\dfrac{c(a+b)}{a^2+b^2}}\geqslant \sqrt{2+2\sqrt{1+4\sqrt{\dfrac{abc(a+b)(b+c)(c+a)}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}}}}$

P.s. Bài này rất "đẹp" về mặt hình thức    đúng không nhỉ 

[binhnhaukhong]

Ta sẽ lần lượt chứng minh 2 bổ đề sau:

 

1.Với mọi số thực $a,b,c$ không âm ta có:

 

$\frac{a(b+c)}{b^2+c^2}+\frac{b(a+c)}{a^2+c^2}+\frac{c(a+b)}{a^2+b^2}\geq 2$

 

Chuẩn hóa $p=a+b+c=1$ đặt $q=ab+bc+ac,r=abc$.Khi đó BĐT tương đương với:

 

$f(r)=r^2+r(5q-3)-8q^3+6q^2-q\leq 0$

 

Hàm $f(r)$ nghịch biến.Xét TH $q\leq \frac{1}{4}\Rightarrow r\geq 0$ và khi đó $f(r)\leq 0$

 

Xét $\frac{1}{3}\geq r\geq  \frac{1}{4}$ thì áp dụng BĐT Schur ta có:

 

$r\geq \frac{4q-1}{9}$ mà $f( \frac{4q-1}{9})=\frac{-2}{81}(4q-1)(81q^2-65q+14)\leq 0$

 

BĐT được chứng minh.

 

2.Với $a,b,c$ không âm ta có:

$\sum \frac{a(b+c)}{b^2+c^2}.\frac{b(a+c)}{a^2+c^2}-1=\frac{2abc[(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-abc]}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}\geq 0$

 

Trở lại với bài toán đặt $x=\sqrt{\frac{a(b+c)}{b^2+c^2}},y=\sqrt{\frac{b(a+c)}{a^2+c^2}},z=\sqrt{\frac{c(b+a)}{b^2+a^2}}$ ($x,y,z\geq 0$).

 

Khi đó bài toán trở thành: $(x+y+z)\geq \sqrt{2+2\sqrt{1+4xyz}}$

 

Lại có: $(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)\geq 2+2(xy+yz+xz)=2+2\sqrt{x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2+2xyz(x+y+z)}\geq 2+2\sqrt{1+2xyz(x+y+z)}$

 

Bây giờ ta sẽ chứng minh: $(x+y+z)\geq 2$

 

Mà $(x+y+z)^2\geq 2+2\sqrt{1+2xyz(x+y+z)}\geq 4\rightarrow x+y+z\geq 2$

 

Vậy BĐT cần chứng minh là đúng.Dấu bằng xảy ra khi $a=b,c=0$ và các hoán vị.

Spoiler

Cảm nhận vị bia đậm đà...

[binhnhaukhong]

Một bài có hình thức đẹp tương tự là. 

 

Với mọi $a,b,c$ không âm ta có:

$\sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}+\sqrt{\frac{b(a+c)}{b^2+ac}}+\sqrt{\frac{c(a+b)}{c^2+ab}}\geq \sqrt{2+2\sqrt{1+4\sqrt{\frac{abc(a+b)(b+c)(a+c)}{(a^2+bc)(b^2+ac)(c^2+ab)}}}}$

Spoiler

 

Từ BĐT trên ta có thể suy ra BĐT đẹp sau:

 

$\sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}+\sqrt{\frac{b(a+c)}{b^2+ac}}+\sqrt{\frac{c(a+b)}{c^2+ab}}\geq 2$