Chủ đề này có 2 trả lời

[huonggiangcute]

Cho các số thực $x,y,z$ thoả mãn $\left\{\begin{matrix}x+y+z=0 & \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=6 & \end{matrix}\right.$

Tìm GTLN của $P=x^{4}y+y^{4}z+z^{4}x$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huonggiangcute: 25-06-2015 - 14:01

[dogsteven]

Khảo sát ra được thế này: $\dfrac{4x^3y+z^4+6}{x}=\dfrac{4y^3z+x^4+6}{y}=\dfrac{4z^3x+y^4+6}{z}$

Mà nếu dùng Cauchy-Schwarz: $5P=\sum x(4x^3y+z^4+6)\leqslant \sqrt{6\sum (4x^3y+z^4+6)^2}$ thì không biết đánh giá tiếp nữa :yaoming:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 25-06-2015 - 14:49

[dogsteven]

$6(x^2y+y^2z+z^2x)=(x^2+y^2+z^2)(x^2y+y^2z+z^2x)=x^4y+y^4z+z^4x-3xyz+x^2y^3+y^2z^3+z^2x^3$

$0=(x+y+z)(x^3y+y^3z+z^3x)=x^4y+y^4z+z^4x+6xyz+x^3y^2+y^3z^2+z^3x^2$

Do đó $x^4y+y^4z+z^4=3(x^2y+y^2z+z^2x-xyz)$

Ta có $x^3y+y^3z+z^3x-xy^3-yz^3-zx^3=-(x+y+z)(x-y)(y-z)(z-x)=0$ 

Ngoài ra $(x+y+z)(x^2y+y^2z+z^2x)=0$ nên $x^3y+y^3z+z^3x=xy^3+yz^3+zx^3=-9$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

$9(x^2y+y^2z+z^2x-xyz)^2=\left[\sum x(2xy+z^2-yz-1)\right]^2\leqslant (x^2+y^2+z^2)\sum (2xy+z^2-yz-1)^2=468$

Do đó $x^4y+y^4z+z^4x=3(x^2y+y^2z+z^2x-xyz)\leqslant 6\sqrt{13}$

Đẳng thức em chưa tìm được, giải khó quá.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 25-06-2015 - 15:12