Chủ đề này có 7 trả lời

[maythatyeuduoishit]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2\geq 3$. Chứng minh rằng $\frac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}+\frac{b^5-b^2}{b^5+a^2+c^2}+\frac{c^5-c^2}{c^5+b^2+c^2}\geq 0$

[Tuan Hoang Nhat]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2\geq 3$. Chứng minh rằng $\frac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}+\frac{b^5-b^2}{b^5+a^2+c^2}+\frac{c^5-c^2}{c^5+b^2+c^2}\geq 0$

Hình như giả thiết phải là $abc \geq 1$ chứ nhỉ, nếu vậy thì bạn có thể xem ở đây:

http://diendantoanho...hi-mo-các-nước/

[NhatTruong2405]

Do $\frac{a^{5}-a^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}=1-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}$ Nên BĐT cần chứng minh trở thành: $\sum \frac{1}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{3}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: $\frac{1}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}=\frac{\frac{1}{a}+b^{2}+c^{2}}{({a^{5}}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a}+b^{2}+c^{2})}\leq \frac{\frac{1}{a}+b^{2}+c^{2}}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}$ Nên$\sum \frac{\frac{1}{a}+b^{2}+c^{2}}{{a^{5}}+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{\sum \frac{1}{a}+\sum 2(a^{2}}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}})$ Do $abc\geq 1$ nên ta có $\sum \frac{1}{a}\leq abc(\sum \frac{1}{a})=\sum ab\leq \sum a^{2}$

Ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NhatTruong2405: 28-06-2015 - 23:03

[dogsteven]

Nếu điều kiện là $a^2+b^2+c^2=3$ thì khá dễ bằng HFT + D.A.C., nếu là $a^2+b^2+c^2\geqslant 3$ thì anh Cẩn giải như sau:

Bất đẳng thức tương đương với: $\sum \dfrac{1}{a^5+b^2+c^2}\leqslant \dfrac{3}{a^2+b^2+c^2}$

Đến đây ta suy ra chỉ cần chứng minh bất đẳng thức khi $a^2+b^2+c^2=3$, anh chị nào giải thích giúp em tại sao có được nó.

[maythatyeuduoishit]

Do $\frac{a^{5}-a^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}=1-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}$ Nên BĐT cần chứng minh trở thành: $\sum \frac{1}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{3}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: $\frac{1}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}=\frac{\frac{1}{a}+b^{2}+c^{2}}{({a^{5}}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a}+b^{2}+c^{2})}\leq \frac{\frac{1}{a}+b^{2}+c^{2}}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}$ Nên$\sum \frac{\frac{1}{a}+b^{2}+c^{2}}{{a^{5}}+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{\sum \frac{1}{a}+\sum 2(a^{2}}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}})$ Do $abc\geq 1$ nên ta có $\sum \frac{1}{a}\leq abc(\sum \frac{1}{a})=\sum ab\leq \sum a^{2}$

Ta có đpcm

Mình chưa hiểu chỗ này

[tuananh2000]

Nếu điều kiện là $a^2+b^2+c^2=3$ thì khá dễ bằng HFT + D.A.C., nếu là $a^2+b^2+c^2\geqslant 3$ thì anh Cẩn giải như sau:

Bất đẳng thức tương đương với: $\sum \dfrac{1}{a^5+b^2+c^2}\leqslant \dfrac{3}{a^2+b^2+c^2}$

Đến đây ta suy ra chỉ cần chứng minh bất đẳng thức khi $a^2+b^2+c^2=3$, anh chị nào giải thích giúp em tại sao có được nó.

Mình tham khảo được tài liệu, chắc của anh Cẩn thì cm như sau 

[NhatTruong2405]

Mình chưa hiểu chỗ này

 $\frac{a^{5}-a^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}=1-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}$ mà đề bài là chứng minh $\sum \frac{a^{5}-a^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}} \geq 0$ nên chuyển vế đó bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NhatTruong2405: 29-06-2015 - 21:50

[KietLW9]

Ta có $abc\geqslant 1$ nên $\frac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}\geqslant \frac{a^5-a^2.abc}{a^5+(b^2+c^2)abc} =\frac{a^4-a^2bc}{a^4+(b^2+c^2)bc}$

Xét BĐT phụ: $\frac{x-yz}{x+zt}\geqslant \frac{2x-yt}{2x+t^2} $ với $t\geqslant 2z$ (Luôn đúng do: $\frac{x-yz}{x+zt}- \frac{2x-yt}{2x+t^2}=\frac{x(t-2z)(y+t)}{(x+zt)(2x+t^2)}\geqslant 0$ )

Áp dụng với $x=a^4; y = a^2; z = bc; t = b^2+c^2$, ta được: $\frac{a^4-a^2bc}{a^4+(b^2+c^2)bc}\geqslant \frac{2a^4-a^2(b^2+c^2)}{2a^4+(b^2+c^2)^2}$ 

Đặt $(a^2,b^2,c^2)\rightarrow (x,y,z)$ thì ta cần chứng minh: $\sum_{cyc}\frac{2x^2-x(y+z)}{2x^2+(y+z)^2}\geqslant 0 $

Đây là điều hiển nhiên do: $\Leftrightarrow \sum_{cyc}(x-y)^2\frac{z^2+z(x+y)+x^2-xy+y^2}{(2x^2+(y+z)^2)(2y^2+(z+x)^2)}\geqslant 0$ 

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z hay a = b = c = 1