Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2\geq 3$. Chứng minh rằng $\frac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}+\frac{b^5-b^2}{b^5+a^2+c^2}+\frac{c^5-c^2}{c^5+b^2+c^2}\geq 0$
$\frac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}+\frac{b^5-b^2}{b^5+a^2+c^2}+\frac{c^5-c^2}{c^5+b^2+c^2}\geq 0$
#1
Đã gửi 28-06-2015 - 21:52
#2
Đã gửi 28-06-2015 - 22:06
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2\geq 3$. Chứng minh rằng $\frac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}+\frac{b^5-b^2}{b^5+a^2+c^2}+\frac{c^5-c^2}{c^5+b^2+c^2}\geq 0$
Hình như giả thiết phải là $abc \geq 1$ chứ nhỉ, nếu vậy thì bạn có thể xem ở đây:
http://diendantoanho...hi-mo-các-nước/
- maythatyeuduoishit và NhatTruong2405 thích
Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.
#3
Đã gửi 28-06-2015 - 22:56
Do $\frac{a^{5}-a^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}=1-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}$ Nên BĐT cần chứng minh trở thành: $\sum \frac{1}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{3}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: $\frac{1}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}=\frac{\frac{1}{a}+b^{2}+c^{2}}{({a^{5}}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a}+b^{2}+c^{2})}\leq \frac{\frac{1}{a}+b^{2}+c^{2}}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}$ Nên$\sum \frac{\frac{1}{a}+b^{2}+c^{2}}{{a^{5}}+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{\sum \frac{1}{a}+\sum 2(a^{2}}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}})$ Do $abc\geq 1$ nên ta có $\sum \frac{1}{a}\leq abc(\sum \frac{1}{a})=\sum ab\leq \sum a^{2}$
Ta có đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NhatTruong2405: 28-06-2015 - 23:03
- vda2000, the man và maythatyeuduoishit thích
#4
Đã gửi 29-06-2015 - 09:56
Nếu điều kiện là $a^2+b^2+c^2=3$ thì khá dễ bằng HFT + D.A.C., nếu là $a^2+b^2+c^2\geqslant 3$ thì anh Cẩn giải như sau:
Bất đẳng thức tương đương với: $\sum \dfrac{1}{a^5+b^2+c^2}\leqslant \dfrac{3}{a^2+b^2+c^2}$
Đến đây ta suy ra chỉ cần chứng minh bất đẳng thức khi $a^2+b^2+c^2=3$, anh chị nào giải thích giúp em tại sao có được nó.
- maythatyeuduoishit và Tuan Hoang Nhat thích
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
#5
Đã gửi 29-06-2015 - 21:24
Do $\frac{a^{5}-a^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}=1-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}$ Nên BĐT cần chứng minh trở thành: $\sum \frac{1}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{3}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: $\frac{1}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}=\frac{\frac{1}{a}+b^{2}+c^{2}}{({a^{5}}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a}+b^{2}+c^{2})}\leq \frac{\frac{1}{a}+b^{2}+c^{2}}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}$ Nên$\sum \frac{\frac{1}{a}+b^{2}+c^{2}}{{a^{5}}+b^{2}+c^{2}}\leq \frac{\sum \frac{1}{a}+\sum 2(a^{2}}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}})$ Do $abc\geq 1$ nên ta có $\sum \frac{1}{a}\leq abc(\sum \frac{1}{a})=\sum ab\leq \sum a^{2}$
Ta có đpcm
Mình chưa hiểu chỗ này
#6
Đã gửi 29-06-2015 - 21:43
Nếu điều kiện là $a^2+b^2+c^2=3$ thì khá dễ bằng HFT + D.A.C., nếu là $a^2+b^2+c^2\geqslant 3$ thì anh Cẩn giải như sau:
Bất đẳng thức tương đương với: $\sum \dfrac{1}{a^5+b^2+c^2}\leqslant \dfrac{3}{a^2+b^2+c^2}$
Đến đây ta suy ra chỉ cần chứng minh bất đẳng thức khi $a^2+b^2+c^2=3$, anh chị nào giải thích giúp em tại sao có được nó.
Mình tham khảo được tài liệu, chắc của anh Cẩn thì cm như sau
- maythatyeuduoishit và NhatTruong2405 thích
Live more - Be more
#7
Đã gửi 29-06-2015 - 21:45
Mình chưa hiểu chỗ này
$\frac{a^{5}-a^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}=1-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}}$ mà đề bài là chứng minh $\sum \frac{a^{5}-a^{2}}{a^{5}+b^{2}+c^{2}} \geq 0$ nên chuyển vế đó bạn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NhatTruong2405: 29-06-2015 - 21:50
- maythatyeuduoishit yêu thích
#8
Đã gửi 29-04-2021 - 14:15
Ta có $abc\geqslant 1$ nên $\frac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}\geqslant \frac{a^5-a^2.abc}{a^5+(b^2+c^2)abc} =\frac{a^4-a^2bc}{a^4+(b^2+c^2)bc}$
Xét BĐT phụ: $\frac{x-yz}{x+zt}\geqslant \frac{2x-yt}{2x+t^2} $ với $t\geqslant 2z$ (Luôn đúng do: $\frac{x-yz}{x+zt}- \frac{2x-yt}{2x+t^2}=\frac{x(t-2z)(y+t)}{(x+zt)(2x+t^2)}\geqslant 0$ )
Áp dụng với $x=a^4; y = a^2; z = bc; t = b^2+c^2$, ta được: $\frac{a^4-a^2bc}{a^4+(b^2+c^2)bc}\geqslant \frac{2a^4-a^2(b^2+c^2)}{2a^4+(b^2+c^2)^2}$
Đặt $(a^2,b^2,c^2)\rightarrow (x,y,z)$ thì ta cần chứng minh: $\sum_{cyc}\frac{2x^2-x(y+z)}{2x^2+(y+z)^2}\geqslant 0 $
Đây là điều hiển nhiên do: $\Leftrightarrow \sum_{cyc}(x-y)^2\frac{z^2+z(x+y)+x^2-xy+y^2}{(2x^2+(y+z)^2)(2y^2+(z+x)^2)}\geqslant 0$
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z hay a = b = c = 1
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh