Chủ đề này có 6 trả lời

[luuk2611]

Cho $\frac{1}{2}\leq a,b\leq 1$ . Chứng minh rằng :

$ab + \frac{2}{a^{2}+ b^{2}} \geq 2$

[Nhok Tung]

BĐT $\Leftrightarrow ab(a^{2}+b^{2})+2\geq 2(a^{2}+b^{2})\Leftrightarrow (a^{2}+b^{2})(ab-2)+2\geq 0$ (*)

Ta cm (*)

$(a^{2}+b^{2})(ab-2)+2\geq 2ab(ab-2)+2=2(ab-1)^{2}\geq 0$

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = 1

[Namthemaster1234]

$(a-1)(a-\frac{1}{2})\leqslant 0\Rightarrow a^2\leqslant \frac{3a}{2}-\frac{1}{2}$

 

Tương tự đối với $b^2$. Nên : $\frac{2}{a^2+b^2}\geqslant \frac{2}{\frac{3}{2}(a+b)-1}$

 

Lại có  $(a-1)(b-1)\geqslant 0 \Rightarrow ab\geqslant (a+b)-1$

 

$\Rightarrow VT\geqslant (a+b)- 1 + \frac{2}{\frac{3}{2}(a+b)-1}$

 

Dễ dàng giải tiếp theo AM-GM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 07-07-2015 - 11:15

[luuk2611]

BĐT $\Leftrightarrow ab(a^{2}+b^{2})+2\geq 2(a^{2}+b^{2})\Leftrightarrow (a^{2}+b^{2})(ab-2)+2\geq 0$ (*)

Ta cm (*)

$(a^{2}+b^{2})(ab-2)+2\geq 2ab(ab-2)+2=2(ab-1)^{2}\geq 0$

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = 1

Nên để ý rằng do $ab \leq 2$ nên $(a^{2}+b^{2})(ab-2)+2\geq 2ab(ab-2)+2$ là một BDT không đúng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luuk2611: 07-07-2015 - 11:22

[luuk2611]

$(a-1)(a-\frac{1}{2})\leqslant 0\Rightarrow a^2\leqslant \frac{3a}{2}-\frac{1}{2}$

 

Tương tự đối với $b^2$. Nên : $\frac{2}{a^2+b^2}\geqslant \frac{2}{\frac{3}{2}(a+b)-1}$

 

Lại có  $(a-1)(b-1)\geqslant 0 \Rightarrow ab\geqslant (a+b)-1$

 

$\Rightarrow VT\geqslant (a+b)- 1 + \frac{2}{\frac{3}{2}(a+b)-1}$

 

Dễ dàng giải tiếp theo AM-GM

Em có thể giải rõ ra chỗ "dễ dàng giải tiếp theo AM -GM " không ? Theo anh việc chọn điểm rơi không dễ dàng đâu.

[vda2000]

Cho $\frac{1}{2}\leq a,b\leq 1$ . Chứng minh rằng :

$ab + \frac{2}{a^{2}+ b^{2}} \geq 2$

Ta có quy đồng lên, ta được: $ab(a^2+b^2)+2-2(a^2+b^2)\geq 0$

$\Leftrightarrow (ab-2)(a^2+b^2)+2\geq 0$

Vì: $ab<2$ suy ra: $ab-2<0$

Và: $a^2+b^2\leq a^2b^2+1$ ($\Leftrightarrow (a^2-1)(b^2-1)\geq 0$ do: $-1<\frac{1}{2}\geq a;b\geq 1$ nên: $a^2,b^2\leq 1$)

Nhân vào và theo tc bất đẳng thức, ta có:

$(ab-2)(a^2+b^2)\geq (ab-2)(a^2b^2+1)$

Đặt $ab=t>0$, ta cần chứng minh:

$(t-2)(t^2+1)+2\geq 0\Leftrightarrow t(t-1)^2\geq 0$ Đúng 

-> BĐT được chứng minh

[Namthemaster1234]

Em có thể giải rõ ra chỗ "dễ dàng giải tiếp theo AM -GM " không ? Theo anh việc chọn điểm rơi không dễ dàng đâu.

 

Ta có thể giải tiếp nếu đặt $a+b=S$ thì : $S-1+\frac{4}{3s-2}\geqslant 2\Leftrightarrow \frac{(S-2)(3s-5)}{3s-2}\geqslant 0$ (Luôn đúng )

 

AM-GM chắc là không được