Chủ đề này có 4 trả lời

[letuananh29072000]

Cho  $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ . Chứng minh rằng 

a) $a + b+ c\leq 3$

b) $\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} \geq \frac{4}{a^{2}+7} + \frac{4}{b^{2}+7} + \frac{4}{c^{2}+7}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 10-07-2015 - 11:13

[Truong Gia Bao]

Cho  $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ . Chứng minh rằng :a) $a + b+ c\leq 3$

Giải:

a)Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta có: $a+b+c\leq \sqrt{(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)}=\sqrt{3.3}=3$

b) Chủ yếu áp dụng BĐT AM-GM và hệ quả của nó (chú ý sử dụng cả kết quả câu a):

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\geq \frac{4}{(a+b+c)+b}\geq \frac{4}{b+3}\geq \frac{4}{\frac{b^2+1}{2}+3}= \frac{8}{b^2+7}$

Tương tự sẽ có: $\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{8}{c^2+7}; \frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\geq \frac{8}{a^2+7}$

Cộng từng vế 3 BĐT trên lại và cùng chia 2 $\rightarrow đpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Truong Gia Bao: 10-07-2015 - 12:17

[Nguyen Huy Hoang]

a) Theo BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có

 

$(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2) \geq (a+b+c)^2$

<=> $9 \geq (a+b+c)^2$

<=> $a+b+c \leq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Huy Hoang: 10-07-2015 - 11:59

[vda2000]

Cho  $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ . Chứng minh rằng 

a) $a + b+ c\leq 3$

b) $\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} \geq \frac{4}{a^{2}+7} + \frac{4}{b^{2}+7} + \frac{4}{c^{2}+7}$

Ta có: a) $a+b+c\leq 3$

Lại có: $\sum\frac{4}{a^2+7}=\sum\frac{4}{a^2+1+3.2}\leq\sum\frac{4}{2a+2(a+b+c)}=\frac{1}{2}.\sum\frac{4}{2a+b+c}\leq\frac{1}{2}.2\sum\frac{1}{a+b}=\sum\frac{1}{a+b}$ 

[bvptdhv]

Bài 1: câu a Ta có $a^{2}+1\geq 2a$

                              $b^{2}+1\geq 2b$

                              $c^{2}+1 \geq 2c$

=>$a^{2}+b^{2}+c^{2}+3 \geq 2a+2b+2c$

<=>$2(a^{2}+b^{2}+c^{2}) \geq 2(a+b+c)$

<=>$3 \geq a+b+c$(đpcm)

dấu = xảy ra <=> $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bvptdhv: 10-07-2015 - 13:20