Chủ đề này có 1 trả lời

[Quoc Tuan Qbdh]

Cho $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng

$\sum \frac{(c+a-b)^{4}}{a(a+b-c)} \geq \sum ab$

[Hoang Tung 126]

Cho $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng

$\sum \frac{(c+a-b)^{4}}{a(a+b-c)} \geq \sum ab$

Đặt $\left\{\begin{matrix} b+c-a=x & & \\ a+c-b=y & & \\ a+b-c=z & & \end{matrix}\right.= > x,y,z> 0= > \left\{\begin{matrix} a=\frac{y+z}{2} & & \\ b=\frac{x+z}{2} & & \\ c=\frac{x+y}{2} & & \end{matrix}\right.$

 

Do đó $\sum \frac{(a+c-b)^4}{a(a+b-c)}\geq \sum ab< = > \sum \frac{y^4}{\frac{z(y+z)}{2}}\geq \sum \frac{(y+z)(x+z)}{4}< = > \sum \frac{y^4}{z(y+z)}\geq \frac{\sum z^2+3\sum xy}{8}$

 

Theo Bunhia và Cosi ta có :

 

 $\sum \frac{y^4}{z(y+z)}\geq \frac{(\sum y^2)^2}{\sum yz+\sum z^2}\geq \frac{(\sum y^2)^2}{\sum z^2+\sum z^2}=\frac{\sum y^2}{2}=\frac{4\sum y^2}{8}\geq \frac{\sum y^2+3\sum yz}{8}$

 

   Do đó ta có  ĐPCM