5 replies to this topic

[ngobaochau1704]

Cho hai số $x$,$y$ dương. Chứng minh:

$\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}\geqslant \frac{1}{1+xy}$

[revenge]

bài này qui đồng rồi dùng canchy cho $\frac{x^3y}{2}+\frac{xy^3}{2} \geq x^2y^2$ và $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{xy^3}{2}+\frac{x^3y}{2}\geq 2xy$

[royal1534]

Cho hai số $x$,$y$ dương. Chứng minh:

$\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}\geqslant \frac{1}{1+xy}$

Cách khác

Sử dụng bđt Bunhacopski ta có:
$(1+xy)(1+\frac{x}{y}) \geq (1+x)^{2} $

$\rightarrow \frac{1}{(1+x)^{2}} \geq \frac{1}{(1+xy)(1+\frac{x}{y})} $

Thiết lập bđt tương tự và cộng lại ta có

$\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}} \geq \frac{1}{1+xy}(\frac{1}{1+\frac{x}{y}}+\frac{1}{1+\frac{y}{x}})$$=\frac{1}{1+xy}(\frac{y}{x+y}+\frac{x}{x+y})=\frac{1}{1+xy}$

Vậy ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $x=y=1$

Edited by royal1534, 19-12-2015 - 17:30.

[NTA1907]

Cách khác

Sử dụng bđt Bunhacopski ta có:
$(1+xy)(1+\frac{x}{y}) \geq (1+x)^{2} $

$\rightarrow \frac{1}{(1+x)^{2}} \leq \frac{1}{(1+xy)(1+\frac{x}{y})} $

Thiết lập bđt tương tự và cộng lại ta có

$\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}} \leq \frac{1}{1+xy}(\frac{1}{1+\frac{x}{y}}+\frac{1}{1+\frac{y}{x}})$$=\frac{1}{1+xy}(\frac{y}{x+y}+\frac{x}{x+y})=\frac{1}{1+xy}$

Vậy ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $x=y=1$

Ngược dấu rồi bạn ơi

[royal1534]

Ngược dấu rồi bạn ơi

Fixed !

[KietLW9]

Cho hai số $x$,$y$ dương. Chứng minh:

$\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}\geqslant \frac{1}{1+xy}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: $\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}-\frac{1}{1+xy}=\frac{xy^3+x^3y-x^2y^2-2xy+1}{(1+x)^2(1+y)^2(1+xy)}\geqslant \frac{2x^2y^2-x^2y^2-2xy+1}{(1+x)^2(1+y)^2(1+xy)}=\frac{(xy-1)^2}{(1+x)^2(1+y)^2(1+xy)}\geqslant 0$

Ta có điều phải chứng minh.