Đến nội dung


Hình ảnh

$\sqrt[3]{a+bc}+\sqrt[3]{b+ac}+\sqrt[3]{c+ab}$

bất đẳng thức và cực tri

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 ngobaochau1704

ngobaochau1704

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:học toán, xem Manchester United đá

Đã gửi 25-12-2015 - 21:28

Tìm GTLN của biểu thức với $a$,$b$,$c$>0 và $a$+$b$+$c$=$1$:

$\sqrt[3]{a+bc}+\sqrt[3]{b+ac}+\sqrt[3]{c+ab}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngobaochau1704: 25-12-2015 - 21:28


#2 Quoc Tuan Qbdh

Quoc Tuan Qbdh

    DragonBoy

  • Điều hành viên THCS
  • 1005 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\color{black}{\text{12 Math}}$ $\bigstar \color{black}{\text{Vo Nguyen Giap}} \bigstar$ $\color{black}{\text{Gifted High School}}$ $\bigstar \color{black}{\text{Quang Binh}} \bigstar$
  • Sở thích:$\color{black}{\text{}}$

Đã gửi 25-12-2015 - 21:38

Tìm GTLN của biểu thức với $a$,$b$,$c$>0 và $a$+$b$+$c$=$1$:

$\sqrt[3]{a+bc}+\sqrt[3]{b+ac}+\sqrt[3]{c+ab}$

Áp dụng BĐT $Holder$ ta có :
$(\sqrt[3]{a+bc}+\sqrt[3]{b+ac}+\sqrt[3]{c+ab})^{3} \leq (1+1+1)(1+1+1)(a+bc+b+ac+c+ab)=9(1+ab+bc+ca)$

Lại có

$ab+bc+ca \leq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}=\frac{1}{3}$ ( chứng minh bằng biến đổi tương đương )

Suy ra

$\sqrt[3]{a+bc}+\sqrt[3]{b+ac}+\sqrt[3]{c+ab} \leq \sqrt[3]{\frac{4}{3}}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Quoc Tuan Qbdh: 25-12-2015 - 21:40


#3 huy2403exo

huy2403exo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Trần Phú

Đã gửi 25-12-2015 - 21:59

$\sqrt[3]{a+bc}= \sqrt[3]{(a+b)(a+c)}=\frac{3\sqrt[3]{(a+b)(a+c).\frac{2}{3}}}{3\sqrt[3]{\frac{2}{3}}}\leq \frac{2a+b+c+\frac{2}{3}}{\sqrt[3]{18}}$

 

Tương tự rồi cộng các vế $\Rightarrow VT\leq \frac{6}{\sqrt[3]{18}}$

 

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$


Thành công là khả năng đi từ thất bại này đến thất bại khác mà không mất đi nhiệt huyết

Nhiều người ước mơ được thành công. Thành công chỉ có thể đạt được qua thất bại và sự nội quan liên tục. Thật ra, thành công thể hiện 1% công việc ta làm – kết quả có được từ 99% cái gọi là thất bại.

 

 

Điều bạn gặt hái được bằng việc đạt được mục tiêu không quan trọng bằng con người bạn trở thành khi đạt được mục tiêu.

  •  

 


#4 Sergio BusBu

Sergio BusBu

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 19 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Lê Quý Đôn - Cầu Giấy - Hà Nội
  • Sở thích:Lướt web, thể thao (đá bóng, bơi, đá cầu,...), xem phim, chơi game, xem FC Barcelona đá, đọc sách, đi du lịch, ...

Đã gửi 25-12-2015 - 22:13

Tìm GTLN của biểu thức với $a$,$b$,$c$>0 và $a$+$b$+$c$=$1$:

$\sqrt[3]{a+bc}+\sqrt[3]{b+ac}+\sqrt[3]{c+ab}$

Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:

$\sqrt[3]{(a+bc).\frac{4}{9}.\frac{4}{9}}\leq \frac{a+bc+\frac{4}{9}+\frac{4}{9}}{3}=\frac{a+bc+\frac{8}{9}}{3}$

CMTT đối với b và c....

=> $\sqrt[3]{\frac{16}{81}}.(\sqrt[3]{a+bc}+\sqrt[3]{b+ca}+\sqrt[3]{c+ab})\leq\frac{1+(ab+bc+ca)+\frac{24}{9}}{3}\leq \frac{1+\frac{1}{3}+\frac{24}{9}}{3}=\frac{4}{3}$

=> $\sqrt[3]{a+bc}+\sqrt[3]{b+ca}+\sqrt[3]{c+ab}\leq \sqrt[3]{12}$

=> $(\sqrt[3]{a+bc}+\sqrt[3]{b+ca}+\sqrt[3]{c+ab})max=\sqrt[3]{12}$ <=> $a=b=c=\frac{1}{3}$

Cái đoạn $(ab+bc+ca)\leq \frac{1}{3}$ thì b làm giống bài trên nhá!!!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sergio BusBu: 25-12-2015 - 22:14

:ukliam2: Keep calm and study hard!!!  :lol:  :like  :like  :like 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực tri

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh