Đến nội dung


Hình ảnh

$a^{3}$+$b^{3}$+$c^{3}$+$3abc$ $>$ $ab(a+b)$+$bc(b+c)$+$ca(c+a)$

bất đẳng thức và cực tri

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 ngobaochau1704

ngobaochau1704

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:học toán, xem Manchester United đá

Đã gửi 07-01-2016 - 14:49

Cho $a$ $\leqslant$ $b$ $\leqslant$ $c$ và $(a+b+c)^{2}$ $\leqslant$ $9bc$. 

Chứng minh: $a^{3}$+$b^{3}$+$c^{3}$+$3abc$ $>$ $ab(a+b)$+$bc(b+c)$+$ca(c+a)$

 



#2 quanganhthanhhoa

quanganhthanhhoa

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 34 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hoá

Đã gửi 07-01-2016 - 17:47

Cho $a$ $\leqslant$ $b$ $\leqslant$ $c$ và $(a+b+c)^{2}$ $\leqslant$ $9bc$. 

Chứng minh: $a^{3}$+$b^{3}$+$c^{3}$+$3abc$ $>$ $ab(a+b)$+$bc(b+c)$+$ca(c+a)$

Đây là bất đẳng thức Schur,có thể chứng minh như sau

 

Giả sử:$a\geq b\geq c\Rightarrow \left\{\begin{matrix}c(c-a)(c-b)\geq 0 &  & \\ a(a-c)\geq b(b-c) &  &\end{matrix}\right.$ 

 

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}c(c-a)(c-b)\geq 0 &  & \\ a(a-c)(a-b)+b(b-c)(b-a)\geq 0 &  & \end{matrix}\right.$

 

$\Rightarrow \sum a(a-c)(a-b)\geq 0\Leftrightarrow \sum a^3+3abc\geq \sum a^2(b+c)$

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực tri

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh