1 reply to this topic

[ngobaochau1704]

Cho $a$ $\leqslant$ $b$ $\leqslant$ $c$ và $(a+b+c)^{2}$ $\leqslant$ $9bc$. 

Chứng minh: $a^{3}$+$b^{3}$+$c^{3}$+$3abc$ $>$ $ab(a+b)$+$bc(b+c)$+$ca(c+a)$

 

[quanganhthanhhoa]

Cho $a$ $\leqslant$ $b$ $\leqslant$ $c$ và $(a+b+c)^{2}$ $\leqslant$ $9bc$. 

Chứng minh: $a^{3}$+$b^{3}$+$c^{3}$+$3abc$ $>$ $ab(a+b)$+$bc(b+c)$+$ca(c+a)$

Đây là bất đẳng thức Schur,có thể chứng minh như sau

 

Giả sử:$a\geq b\geq c\Rightarrow \left\{\begin{matrix}c(c-a)(c-b)\geq 0 &  & \\ a(a-c)\geq b(b-c) &  &\end{matrix}\right.$ 

 

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}c(c-a)(c-b)\geq 0 &  & \\ a(a-c)(a-b)+b(b-c)(b-a)\geq 0 &  & \end{matrix}\right.$

 

$\Rightarrow \sum a(a-c)(a-b)\geq 0\Leftrightarrow \sum a^3+3abc\geq \sum a^2(b+c)$