Chủ đề này có 2 trả lời

[misakichan]

Cho $0< b< a\leq 4$ và $2ab \leq 3a+4b$

Tìm GTLN của $a^{2}+b^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi misakichan: 16-01-2016 - 18:03

[PlanBbyFESN]

Cho $0< b< a\leq 4$ và $2ab \leq 3a+4b$

Tìm giá trị lớn nhất của $a^{2}+b^{2}$

 

$2ab\leq 3a+4b\Rightarrow b\leq \frac{3a}{2a-4}$            (mấu khác 0)

$\Rightarrow P=a^{2}+b^{2}\leq (\frac{3a}{2a-4})^{2}+a^{2}.$

Xét:

$P-25\leq (\frac{3a}{2a-4})^{2}+a^{2}-25$

Dự đoán P_max=25 nên ta CMR $P\leq 25\Leftrightarrow P-25\leq 0$

Thật vậy:

$P-25\leq 0\Leftrightarrow (\frac{3a}{2a-4})^{2}+a^{2}-25=\frac{4a^{4}-16a^{3}-75a^{2}+400a-400}{(2a-4)^{2}}\leq 0$

$\Leftrightarrow 4a^{4}-16a^{3}-75a^{2}+400a-400\leq 0 \Leftrightarrow (a-4)(4a^{3}-75a+100)\leq 0\Leftrightarrow 4a^{3}-75a+100> 0$   (*)

(Do $a\leq 4$)

Điều (*) sẽ là hiển nhiên nếu $\frac{5\sqrt{2}}{2}\leq a\leq 4$ 

Còn nếu  $0< b< a\leq \frac{5\sqrt{2}}{2}\Rightarrow P< 2a^{2}\leq 25$   

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=4,b=3$

Vậy P_max=25

[misakichan]

$2ab\leq 3a+4b\Rightarrow b\leq \frac{3a}{2a-4}$            (mấu khác 0)

$\Rightarrow P=a^{2}+b^{2}\leq (\frac{3a}{2a-4})^{2}+a^{2}.$

Xét:

$P-25\leq (\frac{3a}{2a-4})^{2}+a^{2}-25$

Dự đoán P_max=25 nên ta CMR $P\leq 25\Leftrightarrow P-25\leq 0$

Thật vậy:

$P-25\leq 0\Leftrightarrow (\frac{3a}{2a-4})^{2}+a^{2}-25=\frac{4a^{4}-16a^{3}-75a^{2}+400a-400}{(2a-4)^{2}}\leq 0$

$\Leftrightarrow 4a^{4}-16a^{3}-75a^{2}+400a-400\leq 0 \Leftrightarrow (a-4)(4a^{3}-75a+100)\leq 0\Leftrightarrow 4a^{3}-75a+100> 0$   (*)

(Do $a\leq 4$)

Điều (*) sẽ là hiển nhiên nếu $\frac{5\sqrt{2}}{2}\leq a\leq 4$ 

Còn nếu  $0< b< a\leq \frac{5\sqrt{2}}{2}\Rightarrow P< 2a^{2}\leq 25$   

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=4,b=3$

Vậy P_max=25

cảm ơn bạn