Đến nội dung


Hình ảnh

$\sum\sqrt{\frac{1}{c}-1}\sqrt{\frac{1}{a}-1} \geq 6$

bất đẳng thức và cực tri

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 lhplyn

lhplyn

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nam Định
  • Sở thích:IT

Đã gửi 11-02-2016 - 15:37

Cho a,b,c > 0 thoả mãn a+b+c=1. Chứng minh :

 $\sqrt{\frac{1}{a}-1} . \sqrt{\frac{1}{b}-1} + \sqrt{\frac{1}{b}-1} . \sqrt{\frac{1}{c}-1} + \sqrt{\frac{1}{c}-1}\sqrt{\frac{1}{a}-1} \geq 6$


fromk96e1lhpnd  :like


#2 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 11-02-2016 - 15:45

BĐT chứng minh tương đương với : 
$\sum \sqrt{\frac{b+c}{a}}.\sqrt{\frac{a+c}{b}} \ge 6$ 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : 
$VT \ge 3.\sqrt[3]{\frac{b+c}{a}.\frac{a+c}{b}.\frac{b+a}{c}}$  
Có $\frac{b+c}{a}.\frac{a+c}{b}.\frac{b+a}{c} \ge 8.\frac{\sqrt{(abc)^2}}{abc}=8$ 
Vậy nên $VT \ge 3.\sqrt[3]{8}=6$



#3 Kira Tatsuya

Kira Tatsuya

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 296 Bài viết

Đã gửi 11-02-2016 - 15:48

Cho a,b,c > 0 thoả mãn a+b+c=1. Chứng minh :

 $\sqrt{\frac{1}{a}-1} . \sqrt{\frac{1}{b}-1} + \sqrt{\frac{1}{b}-1} . \sqrt{\frac{1}{c}-1} + \sqrt{\frac{1}{c}-1}\sqrt{\frac{1}{a}-1} \geq 6$

Biến đổi :$\sqrt{\frac{1}{a}-1}=\sqrt{\frac{a+b+c}{a}-1}=\sqrt{\frac{b+c}{a}}$ .

Tương tự, ta được :

$\sum \sqrt{\frac{(b+c)(c+a)}{ab}}\geq 6\\\Leftrightarrow \sum \sqrt{c(c+a)(c+b)}\geq6\sqrt{abc}$

Áp dụng $Cauchy$ cho 3 số, ta có :$VT\geq 3\sqrt[3]{\sqrt{abc}(b+c)(c+a)(a+b)}\geq3\sqrt[3]{\sqrt{abc}.8\sqrt{bc}.\sqrt{ca}.\sqrt{ab}}\geq6\sqrt[3]{(\sqrt{abc})^3}\geq6\sqrt{abc}$ 

(đúng)

p/s:châm tay


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kira Tatsuya: 11-02-2016 - 15:51

----HIKKIGAYA HACHIMAN----

"MỘT THẾ GIỚI MÀ CHẲNG AI TỔN THƯƠNG ...KHÔNG HỀ TỒN TẠI"


#4 lhplyn

lhplyn

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 33 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nam Định
  • Sở thích:IT

Đã gửi 11-02-2016 - 16:17

BĐT chứng minh tương đương với : 
$\sum \sqrt{\frac{b+c}{a}}.\sqrt{\frac{a+c}{b}} \ge 6$ 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : 
$VT \ge 3.\sqrt[3]{\frac{b+c}{a}.\frac{a+c}{b}.\frac{b+a}{c}}$  
Có $\frac{b+c}{a}.\frac{a+c}{b}.\frac{b+a}{c} \ge 8.\frac{\sqrt{(abc)^2}}{abc}=8$ 
Vậy nên $VT \ge 3.\sqrt[3]{8}=6$

Cảm ơn ak :)


fromk96e1lhpnd  :like






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực tri

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh