Chủ đề này có 383 trả lời

[tritanngo99]

Bài 79: Với các số thực $0\le a,b,c\le2$  thỏa mãn: $a+b+c=3$. 

Tìm Min của $P=\sum \sqrt{a+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 31-05-2016 - 12:01

[quangtq1998]

Bài 79: Với các số thực $0\le a,b,c\le2 thỏa mãn: $a+b+c=3$. 
Tìm Min của $P=\sum \sqrt{a+1}$

( Đề thi thử chuyên KHTN 2015) 
 
Không mất tính tổng quát giả sử $a \ge b \ge c$ nên $2\ge a\ge 1 $
 
 Ta có : $\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1} \ge \sqrt{b+c+1} +1 = \sqrt{4-a} +1 $ ( đúng với mọi $ab \ge 0 $ )
      nên $P \ge \sqrt{a+1} + \sqrt{4-a} + 1 = f(a) $ 
      $f'(1.5) = 0$,
     $ f(2) = f(1) = \sqrt{3}+\sqrt{2}+1$ ,
      $f(1.5) =1+\sqrt{10}  $
 
 Do đó $P \ge \sqrt{3}+\sqrt{2}+1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 06-05-2016 - 21:19

[longatk08]

Bài 80: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ac \leq 3$. Tìm GTNN của:

 

$$\frac{12}{4ab+(a+b)(c+3)}+\frac{\sqrt{2(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}}{(a+1)(b+1)}+\frac{1}{2c^2}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 31-05-2016 - 12:02

[quangtq1998]

Bài 81, Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn$ a^2b^2 + b^2c^2 +1 \leq 3b $

   Tìm giá trị nhỏ nhất của : 
$P = \frac{1}{(a+1)^2} + \frac{4b^2}{(2b+1)^2} + \frac{8}{(3+c)^2} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 19-06-2016 - 20:10

[phamngochung9a]

Oops. Cảm ơn bạn nhé Mình lộn mất rồi. Mà nếu theo lời người ra bài thì số 3 phải thay bằng số 1 thì ms chuẩn đề thầy Nam :V Nếu nt thì dấu bằng sẽ là c=0,a=b=1. Mình đoán là có nhầm lẫn

Đề bài không sai đâu bạn. Sau nhiều thời gian suy nghĩ, mình có lời giải này, bạn xem hộ mình nhé. 

 

$P=\frac{8}{\left ( a+b \right )^{2}}+\frac{3}{\left ( b+c \right )^{2}}+\frac{3}{\left ( c+a \right )^{2}}\\=\frac{8}{\left ( a+b \right )^{2}}+3.\frac{\left ( ab+bc+ca \right )^{2}}{\left ( b+c \right )^{2}}+3.\frac{\left ( ab+bc+ca \right )^{2}}{\left ( c+a \right )^{2}}\\=\frac{8}{\left ( a+b \right )^{2}}+3a^{2}+3b^{2}+6abc\left ( \frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )+3.\frac{b^{2}c^{2}}{\left ( b+c \right )^{2}}+3.\frac{c^{2}a^{2}}{\left ( c+a \right )^{2}}\\\geq \frac{8}{\left ( a+b \right )^{2}}+3\left ( a^{2}+b^{2} \right )+6abc.\frac{2c+a+b}{c^{2}+1}\\\geq \frac{8}{\left ( a+b \right )^{2}}+3\left ( a^{2}+b^{2} \right )+6abc.\frac{c^{2}\left ( a+b \right )+a+b}{c^{2}+1}\\=\frac{8}{\left ( a+b \right )^{2}}+3\left ( a^{2}+b^{2} \right )+6abc\left ( a+b \right )=\frac{8}{\left ( a+b \right )^{2}}+3\left ( a^{2}+b^{2} \right )+6ab\left ( 1-ab \right )\\=\frac{8}{\left ( a+b \right )^{2}}+3\left ( a+b \right )^{2}-6a^{2}b^{2}$

Đặt $a+b=t$

• Nếu $a+b\geq 2$, ta có:

$P\geq \frac{8}{\left ( a+b \right )^{2}}+3\left ( a+b \right )^{2}-6=\frac{8}{t^{2}}+3t^{2}-6\geq 8$

• Nếu $a+b\leq 2$, ta có:

$P\geq \frac{8}{t^{2}}+3t^{2}-\frac{3}{8}t^{4}\geq 8$

 

Vậy $P_{\min}=1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b=1 & \\ c=0 & \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 09-05-2016 - 21:03

[ZOT Murloc]

Bài 81, Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn$ a^2b^2 + b^2c^2 +1 \leq 3b $

   Tìm giá trị nhỏ nhất của : 
$P = \frac{1}{(a+1)^2} + \frac{4b^2}{(2b+1)^2} + \frac{8}{(3+c)^2} $

Mới thi học kì xong nè

 

Bổ đề: $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq \frac{8}{\left ( x+y \right )^2}$

 

Chứng minh:

 

$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq \frac{2}{xy}\geq \frac{2.4}{\left ( x+y \right )^2}=\frac{8}{\left ( x+y \right )^2}$

 

 

 

 

 

 

$a^2b^2+b^2c^2+1\leq 3b$

 

$\Leftrightarrow a^2+c^2+\frac{1}{b^2}\leq \frac{3}{b} $

 

Đặt   $\left\{\begin{matrix} a & = &x \\ \frac{1}{b} & = & y\\ c & = & z \end{matrix}\right.$

 

Bài toán tương đương với

 

$\left\{\begin{matrix} z^2+y^2+z^2\leq 3y\\ P=\frac{1}{\left ( x+1 \right )^2}+\frac{4}{\left (y+2 \right )^2}+\frac{8}{\left ( z+3 \right )^2} \end{matrix}\right.$

 

 

Ta có

 

$P=\frac{1}{\left ( x+1 \right )^2}+\frac{4}{\left (y+2 \right )^2}+\frac{8}{\left ( z+3 \right )^2}$

 

$=\frac{1}{\left ( x+1 \right )^2}+\frac{1}{\left (\frac{y}{2}+1 \right )^2}+\frac{8}{\left ( z+3 \right )^2}$

 

Áp dụng bổ đề ta có

 

$P\geq \frac{8}{\left ( x+\frac{y}{2}+2 \right )^2}+\frac{8}{\left ( z+3 \right )^2}\geq \frac{64}{\left ( x+z+5+\frac{y}{2} \right )^2}$

 

Theo bài ra

 

$3y\geq x^2+y^2+z^2\geq \left ( 2x-1 \right )+\left ( 4y-4 \right )+\left ( 2z-1 \right )$

 

$\Leftrightarrow x+z+\frac{y}{2}\leq 3$

 

Suy ra

 

$P\geq \frac{64}{\left ( 3+5 \right )^2}=1$

 

Đẳng thức xảy ra

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x & = & z&=1\\ y & =& 2 \end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a &= &c&=1 \\ b &= & \frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

 

Vậy................

[phamngochung9a]

Bài 82: (Chuyên Đại học Vinh lần 3 năm 2016 )

Cho $x,y,z$ là những số thực thuộc khoảng $\left ( 1;4 \right )$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=2.\frac{\left ( y+z-x \right )^{2}}{yz}+\sqrt{3}.\frac{\left ( z+x-y \right )^{2}}{zx}-2\sqrt{3}.\frac{\left ( x+y-z \right )^{2}}{xy}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 31-05-2016 - 12:02

[HOANG LINH DAN]

Bài 83:​ ​(Phổ Thông Năng Khiếu - Tp.HCM - 2016)

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=4(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a})+2a^3-a+b^4+b^2-b+c^3+c^2$

[Juliel]

Bài 80: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ac \leq 3$. Tìm GTNN của:

 

$$\frac{12}{4ab+(a+b)(c+3)}+\frac{\sqrt{2(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}}{(a+1)(b+1)}+\frac{1}{2c^2}$$

Lời giải :

 

Ta có :

$$(a^2+1)(b^2+1)=(a+b)^2+(ab-1)^2$$

$$2(c^2+1)=(c+1)^2+(c-1)^2$$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz :

$$\sqrt{2(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}=\sqrt{\left [ (a+b)^2+(ab-1)^2 \right ].\left [ (c+1)^2+(c-1)^2 \right ]}\geq (a+b)(c+1)+(1-ab)(c-1)=(a+b+c+ab+bc+ca+abc+1)-2(1+abc)=(a+1)(b+1)(c+1)-2(1+abc)$$

Từ đó :

$$\dfrac{\sqrt{2(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}}{(a+1)(b+1)}=\dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)-2(1+abc)}{(a+1)(b+1)}=c+1-\dfrac{2(1+abc)}{(a+1)(b+1)}$$

Theo giả thiết :

$$\dfrac{12}{4ab+(a+b)(c+3)}=\dfrac{12}{3(a+b+ab)+(ab+bc+ca)}\geq \dfrac{12}{3(ab+a+b+1)}=\dfrac{4}{(a+1)(b+1)}$$

Từ đó mà :

$$P\geq \frac{2(1-abc)}{(a+1)(b+1)}+c+1+\dfrac{1}{2c^2}$$

Chú ý rằng :

$$3\geq ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq 1$$

$$c+\dfrac{1}{2c^2}=\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{1}{2c^2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\dfrac{3}{2}$$

Như vậy ta được :

$$P\geq \dfrac{5}{2}$$

$$MinP=\dfrac{5}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1$$

[Dinh Xuan Hung]

Bài 82: (Chuyên Đại học Vinh lần 3 năm 2016 )

Cho $x,y,z$ là những số thực thuộc khoảng $\left ( 1;4 \right )$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$P=2.\frac{\left ( y+z-x \right )^{2}}{yz}+\sqrt{3}.\frac{\left ( z+x-y \right )^{2}}{zx}-2\sqrt{3}.\frac{\left ( x+y-z \right )^{2}}{xy}$

 

Đặt $a=\sqrt{x};b=\sqrt{y};c=\sqrt{z}$ Khi đó $a,b,c \in (1;2)$ nên tồn tại tam giác ABC có ba cạnh là $a,b,c$

 

$P=2.\frac{(b^2+c^2-a^2)^2}{b^2c^2}+\sqrt{3}.\frac{(c^2+a^2-b^2)^2}{c^2a^2}-2\sqrt{3}.\frac{(a^2+b^2-c^2)^2}{a^2b^2}$

 

$=2(2cosA)^2+\sqrt{3}(2cosB)^2-2\sqrt{3}(2cosC)^2$

 

$=8.\frac{1+cos2A}{2}+4\sqrt{3}.\frac{1+cos2B}{2}-8\sqrt{3}.\frac{1+cos2C}{2}$

 

$=4-2\sqrt{3}+4cos2A+2\sqrt{3}cos2B-4\sqrt{3}cos2C$(1)

 

Giả sử tam giác ABC có và bán kính đường tròn ngoại tiếp là O và R khi đó:

 

$\left ( \sqrt{3}\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC} \right )^2\geq 0$

 

$\Leftrightarrow 8R^2+R^2\left ( 4\sqrt{3}cos\left ( \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \right ) \right -4cos(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC})-2\sqrt{3}cos\left ( \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC} \right ))\geq 0$

 

$\Leftrightarrow 4cos2A+2\sqrt{3}cos2B-4\sqrt{3}cos2C\leq 8(2)$

 

Từ (1)(2)$\Rightarrow P\leq 4-2\sqrt{3}+8=12-2\sqrt{3}$

 

Dấu bằng xảy ra khi $y=2x;z=\left ( 2+\sqrt{3} \right )x;x\in\left ( 1;4\left ( 2-\sqrt{3} \right ) \right )$

[tuanyeubeo2000]

Bài 84 : Cho a,b,c >0 . CMR: 

$\frac { a+1 }{ b+1 } +\frac { b+1 }{ c+1 } +\frac { c+1 }{ a+1 } \le \frac { a }{ b } +\frac { b }{ c } +\frac { c }{ a }$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuanyeubeo2000: 16-05-2016 - 21:52

[HDTterence2k]

Bài 84 : Cho a,b,c >0 . CMR: 

$\frac { a+1 }{ b+1 } +\frac { b+1 }{ c+1 } +\frac { c+1 }{ a+1 } \le \frac { a }{ b } +\frac { b }{ c } +\frac { c }{ a }$

$<=>\quad (\frac { a }{ b } -\frac { a+1 }{ b+1 } )+(\frac { b }{ c } -\frac { b+1 }{ c+1 } )+(\frac { c }{ a } -\frac { c+1 }{ a+1\quad  } )\quad \ge \quad 0\quad <=>\quad \frac { a-b }{ b(b+1) } +\frac { b-c }{ c(c+1) } +\frac { c-a }{ a(a+1) } \ge 0\\ <=>\quad (a-b)(\frac { 1 }{ b(b+1) } -\frac { 1 }{ a(a+1) } )+(b-c)(\frac { 1 }{ c(c+1) } -\frac { 1 }{ a(a+1) } )\quad \ge \quad 0\quad <=>\quad { (a-b) }^{ 2 }\frac { a+b+1 }{ ab(a+1)(b+1) } +(b-c)(a-c)\frac { a+c+1 }{ ac(a+1)(c+1) } \ge ,giả\quad sử\quad c=min\quad \left\{ a,b,c \right\}\quad ta\quad có\quad đpcm\quad dấu\quad bằng\quad tại\quad a=b=c\quad   $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HDTterence2k: 16-05-2016 - 22:53

[tuanyeubeo2000]

$<=>\quad (\frac { a }{ b } -\frac { a+1 }{ b+1 } )+(\frac { b }{ c } -\frac { b+1 }{ c+1 } )+(\frac { c }{ a } -\frac { c+1 }{ a+1\quad  } )\quad \ge \quad 0\quad <=>\quad \frac { a-b }{ b(b+1) } +\frac { b-c }{ c(c+1) } +\frac { c-a }{ a(a+1) } \ge 0\\ <=>\quad (a-b)(\frac { 1 }{ b(b+1) } -\frac { 1 }{ a(a+1) } )+(b-c)(\frac { 1 }{ c(c+1) } -\frac { 1 }{ a(a+1) } )\quad \ge \quad 0\quad <=>\quad { (a-b) }^{ 2 }\frac { a+b+1 }{ ab(a+1)(b+1) } +(b-c)(a-c)\frac { a+c+1 }{ ac(a+1)(c+1) } \ge 0$

giả sử c = min $ \left\{ a,b,c \right\} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuanyeubeo2000: 16-05-2016 - 22:28

[HDTterence2k]

giả sử c = min $ \left\{ a,b,c \right\} $

oh mình quên chưa ghi mình sẽ sửa lại . cám ơn bạn , do bđt hoán vị nên giả sử c =min (a,b,c ) ta có đpcm 

[ngothithuynhan100620]

Bài 85:Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=3xy$.Tìm Min của:

$P=\frac{x^2}{y^2+yz}+\frac{y}{z+x}+\frac{x^2+y^2}{x^2+z^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 20-05-2016 - 22:23

[tritanngo99]

Bài 86:Cho x,y là các số thực thỏa mãn: $x,y\in [1;3]$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{x}{x^3+x(y-2x)+3}+\frac{y+1}{(x+2y+2)(y+1)-6y+2}+\frac{4\sqrt{5(x+y+1)}}{25}$

 

Bài 87:Cho x,y là các số không âm thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=5$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=(x+z)\sqrt{\frac{z}{x^2+y^2}}+\frac{3x^2+4y^2+8z^2+8}{16z}+\frac{z}{2}-\frac{y}{4}-\frac{1}{8}$

 

Bài 88:Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn: $4z^2+41=9xy(2z+3)$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{x}{\sqrt{x^2+9yz}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+9zx}}+\frac{1}{2\sqrt{10}}(z^2+5)$

 

Bài 89:Cho các số thực a,b,c thuộc đoạn [1;3] thỏa mãn: a+b+c=6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+12abc+72}{ab+bc+ca}-\frac{1}{2}abc$

 

Bài 90:Xét số thực x. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{\sqrt{3(2x^2+2x+1)}}{3}+\frac{1}{\sqrt{2x^2+(3-\sqrt{3})x+3}}+\frac{1}{\sqrt{2x^2+(3+\sqrt{3})x+3}}$

 

Bài 91:Với các số thực dương a,b thỏa mãn: $a^2+b^2=ab+1$. Tìm GTLN của biểu thức:
$P=\sqrt{7-3ab}+\frac{a-2}{a^2+1}+\frac{b-2}{b^2+1}$

 

Bài 92:Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn. Chứng minh BDT:
$\sum \frac{x+1}{y+1}\le \sum \frac{x}{y}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 30-05-2016 - 13:05

[ineX]

Bài 93 (THPT Bỉm Sơn lần I)

Cho x,y,z thuộc $[0;2]$ thỏa: $x+y+z=3$

Tim min: $$P=\sum \frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}+\sum \sqrt{xy}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 30-05-2016 - 13:06

[Dinh Xuan Hung]

Chú ý: Mọi người đăng bài thì phải đánh số thứ tự ai không đánh số thứ tự sẽ bị phạt 1 điểm nhắc nhở ! Gửi nhiều bài thì cho hết vào một bài viết tránh viết mỗi bài mỗi bài viết làm loãng Topic.

 

Mong mọi người đọc và chấp hành nội quy! Thân

 

P/s:Ai giành về PDF có thể tổng hợp đề bài và lời giải ở TOPIC được không?

[ineX]

 

 

P/s:Ai giành về PDF có thể tổng hợp đề bài và lời giải ở TOPIC được không?

mình có thể tổng hợp được topic này thành dạng PDF

[tuanyeubeo2000]

Bài 93 (THPT Bỉm Sơn lần I)

Cho x,y,z thuộc $[0;2]$ thỏa: $x+y+z=3$

Tim min: $$P=\sum \frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}+\sum \sqrt{xy}$$

$ \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+1+1 \right) { \left( 1+1+1+{ z }^{ 2 } \right) \ge { \left( x+y+z+1 \right)  }^{ 2 } }\\ =>\sum { \frac { 1 }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+2 }  } \le \sum { \frac { { z }^{ 2 }+3 }{ { (x+y+z+1) }^{ 2 } }  } =\frac { \sum { { x }^{ 2 } } +9 }{ 16 } \\ =>P\le \frac { \sum { { x }^{ 2 } } +9 }{ 16 } +\sum { \sqrt { xy }  } \le \frac { \sum { { x }^{ 2 } } +9 }{ 16 } +\frac { \sum { xy } +3 }{ 2 } =\frac { { (x+y+z) }^{ 2 }+33+6\sum { xy }  }{ 16 } \\ \le \frac { 9+33+18 }{ 16 } =\frac { 15 }{ 4 } $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuanyeubeo2000: 21-05-2016 - 00:35