Bài 79: Với các số thực $0\le a,b,c\le2$ thỏa mãn: $a+b+c=3$.
Tìm Min của $P=\sum \sqrt{a+1}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 31-05-2016 - 12:01
Bài 79: Với các số thực $0\le a,b,c\le2$ thỏa mãn: $a+b+c=3$.
Tìm Min của $P=\sum \sqrt{a+1}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 31-05-2016 - 12:01
( Đề thi thử chuyên KHTN 2015)Bài 79: Với các số thực $0\le a,b,c\le2 thỏa mãn: $a+b+c=3$.
Tìm Min của $P=\sum \sqrt{a+1}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangtq1998: 06-05-2016 - 21:19
Bài 80: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ac \leq 3$. Tìm GTNN của:
$$\frac{12}{4ab+(a+b)(c+3)}+\frac{\sqrt{2(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}}{(a+1)(b+1)}+\frac{1}{2c^2}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 31-05-2016 - 12:02
Bài 81, Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn$ a^2b^2 + b^2c^2 +1 \leq 3b $
Tìm giá trị nhỏ nhất của :
$P = \frac{1}{(a+1)^2} + \frac{4b^2}{(2b+1)^2} + \frac{8}{(3+c)^2} $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 19-06-2016 - 20:10
Oops. Cảm ơn bạn nhé Mình lộn mất rồi. Mà nếu theo lời người ra bài thì số 3 phải thay bằng số 1 thì ms chuẩn đề thầy Nam :V Nếu nt thì dấu bằng sẽ là c=0,a=b=1. Mình đoán là có nhầm lẫn
Đề bài không sai đâu bạn. Sau nhiều thời gian suy nghĩ, mình có lời giải này, bạn xem hộ mình nhé.
$P=\frac{8}{\left ( a+b \right )^{2}}+\frac{3}{\left ( b+c \right )^{2}}+\frac{3}{\left ( c+a \right )^{2}}\\=\frac{8}{\left ( a+b \right )^{2}}+3.\frac{\left ( ab+bc+ca \right )^{2}}{\left ( b+c \right )^{2}}+3.\frac{\left ( ab+bc+ca \right )^{2}}{\left ( c+a \right )^{2}}\\=\frac{8}{\left ( a+b \right )^{2}}+3a^{2}+3b^{2}+6abc\left ( \frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )+3.\frac{b^{2}c^{2}}{\left ( b+c \right )^{2}}+3.\frac{c^{2}a^{2}}{\left ( c+a \right )^{2}}\\\geq \frac{8}{\left ( a+b \right )^{2}}+3\left ( a^{2}+b^{2} \right )+6abc.\frac{2c+a+b}{c^{2}+1}\\\geq \frac{8}{\left ( a+b \right )^{2}}+3\left ( a^{2}+b^{2} \right )+6abc.\frac{c^{2}\left ( a+b \right )+a+b}{c^{2}+1}\\=\frac{8}{\left ( a+b \right )^{2}}+3\left ( a^{2}+b^{2} \right )+6abc\left ( a+b \right )=\frac{8}{\left ( a+b \right )^{2}}+3\left ( a^{2}+b^{2} \right )+6ab\left ( 1-ab \right )\\=\frac{8}{\left ( a+b \right )^{2}}+3\left ( a+b \right )^{2}-6a^{2}b^{2}$
Đặt $a+b=t$
$P\geq \frac{8}{\left ( a+b \right )^{2}}+3\left ( a+b \right )^{2}-6=\frac{8}{t^{2}}+3t^{2}-6\geq 8$
$P\geq \frac{8}{t^{2}}+3t^{2}-\frac{3}{8}t^{4}\geq 8$
Vậy $P_{\min}=1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b=1 & \\ c=0 & \end{matrix}\right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 09-05-2016 - 21:03
Bài 81, Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn$ a^2b^2 + b^2c^2 +1 \leq 3b $
Tìm giá trị nhỏ nhất của :
$P = \frac{1}{(a+1)^2} + \frac{4b^2}{(2b+1)^2} + \frac{8}{(3+c)^2} $
Mới thi học kì xong nè
Bổ đề: $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq \frac{8}{\left ( x+y \right )^2}$
Chứng minh:
$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq \frac{2}{xy}\geq \frac{2.4}{\left ( x+y \right )^2}=\frac{8}{\left ( x+y \right )^2}$
$a^2b^2+b^2c^2+1\leq 3b$
$\Leftrightarrow a^2+c^2+\frac{1}{b^2}\leq \frac{3}{b} $
Đặt $\left\{\begin{matrix} a & = &x \\ \frac{1}{b} & = & y\\ c & = & z \end{matrix}\right.$
Bài toán tương đương với
$\left\{\begin{matrix} z^2+y^2+z^2\leq 3y\\ P=\frac{1}{\left ( x+1 \right )^2}+\frac{4}{\left (y+2 \right )^2}+\frac{8}{\left ( z+3 \right )^2} \end{matrix}\right.$
Ta có
$P=\frac{1}{\left ( x+1 \right )^2}+\frac{4}{\left (y+2 \right )^2}+\frac{8}{\left ( z+3 \right )^2}$
$=\frac{1}{\left ( x+1 \right )^2}+\frac{1}{\left (\frac{y}{2}+1 \right )^2}+\frac{8}{\left ( z+3 \right )^2}$
Áp dụng bổ đề ta có
$P\geq \frac{8}{\left ( x+\frac{y}{2}+2 \right )^2}+\frac{8}{\left ( z+3 \right )^2}\geq \frac{64}{\left ( x+z+5+\frac{y}{2} \right )^2}$
Theo bài ra
$3y\geq x^2+y^2+z^2\geq \left ( 2x-1 \right )+\left ( 4y-4 \right )+\left ( 2z-1 \right )$
$\Leftrightarrow x+z+\frac{y}{2}\leq 3$
Suy ra
$P\geq \frac{64}{\left ( 3+5 \right )^2}=1$
Đẳng thức xảy ra
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x & = & z&=1\\ y & =& 2 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a &= &c&=1 \\ b &= & \frac{1}{2} \end{matrix}\right.$
Vậy................
Bài 82: (Chuyên Đại học Vinh lần 3 năm 2016 )
Cho $x,y,z$ là những số thực thuộc khoảng $\left ( 1;4 \right )$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=2.\frac{\left ( y+z-x \right )^{2}}{yz}+\sqrt{3}.\frac{\left ( z+x-y \right )^{2}}{zx}-2\sqrt{3}.\frac{\left ( x+y-z \right )^{2}}{xy}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 31-05-2016 - 12:02
Bài 83: (Phổ Thông Năng Khiếu - Tp.HCM - 2016)
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=4(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a})+2a^3-a+b^4+b^2-b+c^3+c^2$
Bài 80: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ac \leq 3$. Tìm GTNN của:
$$\frac{12}{4ab+(a+b)(c+3)}+\frac{\sqrt{2(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}}{(a+1)(b+1)}+\frac{1}{2c^2}$$
Lời giải :
Ta có :
$$(a^2+1)(b^2+1)=(a+b)^2+(ab-1)^2$$
$$2(c^2+1)=(c+1)^2+(c-1)^2$$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz :
$$\sqrt{2(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}=\sqrt{\left [ (a+b)^2+(ab-1)^2 \right ].\left [ (c+1)^2+(c-1)^2 \right ]}\geq (a+b)(c+1)+(1-ab)(c-1)=(a+b+c+ab+bc+ca+abc+1)-2(1+abc)=(a+1)(b+1)(c+1)-2(1+abc)$$
Từ đó :
$$\dfrac{\sqrt{2(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}}{(a+1)(b+1)}=\dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)-2(1+abc)}{(a+1)(b+1)}=c+1-\dfrac{2(1+abc)}{(a+1)(b+1)}$$
Theo giả thiết :
$$\dfrac{12}{4ab+(a+b)(c+3)}=\dfrac{12}{3(a+b+ab)+(ab+bc+ca)}\geq \dfrac{12}{3(ab+a+b+1)}=\dfrac{4}{(a+1)(b+1)}$$
Từ đó mà :
$$P\geq \frac{2(1-abc)}{(a+1)(b+1)}+c+1+\dfrac{1}{2c^2}$$
Chú ý rằng :
$$3\geq ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq 1$$
$$c+\dfrac{1}{2c^2}=\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{1}{2c^2}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\dfrac{3}{2}$$
Như vậy ta được :
$$P\geq \dfrac{5}{2}$$
$$MinP=\dfrac{5}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1$$
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
Bài 82: (Chuyên Đại học Vinh lần 3 năm 2016 )
Cho $x,y,z$ là những số thực thuộc khoảng $\left ( 1;4 \right )$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=2.\frac{\left ( y+z-x \right )^{2}}{yz}+\sqrt{3}.\frac{\left ( z+x-y \right )^{2}}{zx}-2\sqrt{3}.\frac{\left ( x+y-z \right )^{2}}{xy}$
Đặt $a=\sqrt{x};b=\sqrt{y};c=\sqrt{z}$ Khi đó $a,b,c \in (1;2)$ nên tồn tại tam giác ABC có ba cạnh là $a,b,c$
$P=2.\frac{(b^2+c^2-a^2)^2}{b^2c^2}+\sqrt{3}.\frac{(c^2+a^2-b^2)^2}{c^2a^2}-2\sqrt{3}.\frac{(a^2+b^2-c^2)^2}{a^2b^2}$
$=2(2cosA)^2+\sqrt{3}(2cosB)^2-2\sqrt{3}(2cosC)^2$
$=8.\frac{1+cos2A}{2}+4\sqrt{3}.\frac{1+cos2B}{2}-8\sqrt{3}.\frac{1+cos2C}{2}$
$=4-2\sqrt{3}+4cos2A+2\sqrt{3}cos2B-4\sqrt{3}cos2C$(1)
Giả sử tam giác ABC có và bán kính đường tròn ngoại tiếp là O và R khi đó:
$\left ( \sqrt{3}\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC} \right )^2\geq 0$
$\Leftrightarrow 8R^2+R^2\left ( 4\sqrt{3}cos\left ( \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \right ) \right -4cos(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC})-2\sqrt{3}cos\left ( \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC} \right ))\geq 0$
$\Leftrightarrow 4cos2A+2\sqrt{3}cos2B-4\sqrt{3}cos2C\leq 8(2)$
Từ (1)(2)$\Rightarrow P\leq 4-2\sqrt{3}+8=12-2\sqrt{3}$
Dấu bằng xảy ra khi $y=2x;z=\left ( 2+\sqrt{3} \right )x;x\in\left ( 1;4\left ( 2-\sqrt{3} \right ) \right )$
Bài 84 : Cho a,b,c >0 . CMR:
$\frac { a+1 }{ b+1 } +\frac { b+1 }{ c+1 } +\frac { c+1 }{ a+1 } \le \frac { a }{ b } +\frac { b }{ c } +\frac { c }{ a }$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuanyeubeo2000: 16-05-2016 - 21:52
Hiện tại là tặng phẩm vì theo cách chơi chữ trong tiếng anh thì hai từ nãy gần như là một
Nên người nước ngoài luôn đưa ra một chân lý và chứng minh nó bằng ý nghĩa của họ chứ không phải cách tạo nên hai từ đó
Vậy nên : Qùa tặng là cuộc sống hiện tại - Hãy nắm nó thật chắc
Bài 84 : Cho a,b,c >0 . CMR:
$\frac { a+1 }{ b+1 } +\frac { b+1 }{ c+1 } +\frac { c+1 }{ a+1 } \le \frac { a }{ b } +\frac { b }{ c } +\frac { c }{ a }$
$<=>\quad (\frac { a }{ b } -\frac { a+1 }{ b+1 } )+(\frac { b }{ c } -\frac { b+1 }{ c+1 } )+(\frac { c }{ a } -\frac { c+1 }{ a+1\quad } )\quad \ge \quad 0\quad <=>\quad \frac { a-b }{ b(b+1) } +\frac { b-c }{ c(c+1) } +\frac { c-a }{ a(a+1) } \ge 0\\ <=>\quad (a-b)(\frac { 1 }{ b(b+1) } -\frac { 1 }{ a(a+1) } )+(b-c)(\frac { 1 }{ c(c+1) } -\frac { 1 }{ a(a+1) } )\quad \ge \quad 0\quad <=>\quad { (a-b) }^{ 2 }\frac { a+b+1 }{ ab(a+1)(b+1) } +(b-c)(a-c)\frac { a+c+1 }{ ac(a+1)(c+1) } \ge ,giả\quad sử\quad c=min\quad \left\{ a,b,c \right\}\quad ta\quad có\quad đpcm\quad dấu\quad bằng\quad tại\quad a=b=c\quad $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HDTterence2k: 16-05-2016 - 22:53
" Toán học muôn màu ."
$<=>\quad (\frac { a }{ b } -\frac { a+1 }{ b+1 } )+(\frac { b }{ c } -\frac { b+1 }{ c+1 } )+(\frac { c }{ a } -\frac { c+1 }{ a+1\quad } )\quad \ge \quad 0\quad <=>\quad \frac { a-b }{ b(b+1) } +\frac { b-c }{ c(c+1) } +\frac { c-a }{ a(a+1) } \ge 0\\ <=>\quad (a-b)(\frac { 1 }{ b(b+1) } -\frac { 1 }{ a(a+1) } )+(b-c)(\frac { 1 }{ c(c+1) } -\frac { 1 }{ a(a+1) } )\quad \ge \quad 0\quad <=>\quad { (a-b) }^{ 2 }\frac { a+b+1 }{ ab(a+1)(b+1) } +(b-c)(a-c)\frac { a+c+1 }{ ac(a+1)(c+1) } \ge 0$
giả sử c = min $ \left\{ a,b,c \right\} $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuanyeubeo2000: 16-05-2016 - 22:28
Hiện tại là tặng phẩm vì theo cách chơi chữ trong tiếng anh thì hai từ nãy gần như là một
Nên người nước ngoài luôn đưa ra một chân lý và chứng minh nó bằng ý nghĩa của họ chứ không phải cách tạo nên hai từ đó
Vậy nên : Qùa tặng là cuộc sống hiện tại - Hãy nắm nó thật chắc
giả sử c = min $ \left\{ a,b,c \right\} $
oh mình quên chưa ghi mình sẽ sửa lại . cám ơn bạn , do bđt hoán vị nên giả sử c =min (a,b,c ) ta có đpcm
" Toán học muôn màu ."
Bài 85:Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=3xy$.Tìm Min của:
$P=\frac{x^2}{y^2+yz}+\frac{y}{z+x}+\frac{x^2+y^2}{x^2+z^2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 20-05-2016 - 22:23
Lấy bất biến ứng vạn biến
Bài 86:Cho x,y là các số thực thỏa mãn: $x,y\in [1;3]$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{x}{x^3+x(y-2x)+3}+\frac{y+1}{(x+2y+2)(y+1)-6y+2}+\frac{4\sqrt{5(x+y+1)}}{25}$
Bài 87:Cho x,y là các số không âm thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=5$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=(x+z)\sqrt{\frac{z}{x^2+y^2}}+\frac{3x^2+4y^2+8z^2+8}{16z}+\frac{z}{2}-\frac{y}{4}-\frac{1}{8}$
Bài 88:Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn: $4z^2+41=9xy(2z+3)$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{x}{\sqrt{x^2+9yz}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+9zx}}+\frac{1}{2\sqrt{10}}(z^2+5)$
Bài 89:Cho các số thực a,b,c thuộc đoạn [1;3] thỏa mãn: a+b+c=6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+12abc+72}{ab+bc+ca}-\frac{1}{2}abc$
Bài 90:Xét số thực x. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{\sqrt{3(2x^2+2x+1)}}{3}+\frac{1}{\sqrt{2x^2+(3-\sqrt{3})x+3}}+\frac{1}{\sqrt{2x^2+(3+\sqrt{3})x+3}}$
Bài 91:Với các số thực dương a,b thỏa mãn: $a^2+b^2=ab+1$. Tìm GTLN của biểu thức:
$P=\sqrt{7-3ab}+\frac{a-2}{a^2+1}+\frac{b-2}{b^2+1}$
Bài 92:Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn. Chứng minh BDT:
$\sum \frac{x+1}{y+1}\le \sum \frac{x}{y}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 30-05-2016 - 13:05
Bài 93 (THPT Bỉm Sơn lần I)
Cho x,y,z thuộc $[0;2]$ thỏa: $x+y+z=3$
Tim min: $$P=\sum \frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}+\sum \sqrt{xy}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 30-05-2016 - 13:06
Chú ý: Mọi người đăng bài thì phải đánh số thứ tự ai không đánh số thứ tự sẽ bị phạt 1 điểm nhắc nhở ! Gửi nhiều bài thì cho hết vào một bài viết tránh viết mỗi bài mỗi bài viết làm loãng Topic.
Mong mọi người đọc và chấp hành nội quy! Thân
P/s:Ai giành về PDF có thể tổng hợp đề bài và lời giải ở TOPIC được không?
P/s:Ai giành về PDF có thể tổng hợp đề bài và lời giải ở TOPIC được không?
mình có thể tổng hợp được topic này thành dạng PDF
Bài 93 (THPT Bỉm Sơn lần I)
Cho x,y,z thuộc $[0;2]$ thỏa: $x+y+z=3$
Tim min: $$P=\sum \frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}+\sum \sqrt{xy}$$
$ \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+1+1 \right) { \left( 1+1+1+{ z }^{ 2 } \right) \ge { \left( x+y+z+1 \right) }^{ 2 } }\\ =>\sum { \frac { 1 }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+2 } } \le \sum { \frac { { z }^{ 2 }+3 }{ { (x+y+z+1) }^{ 2 } } } =\frac { \sum { { x }^{ 2 } } +9 }{ 16 } \\ =>P\le \frac { \sum { { x }^{ 2 } } +9 }{ 16 } +\sum { \sqrt { xy } } \le \frac { \sum { { x }^{ 2 } } +9 }{ 16 } +\frac { \sum { xy } +3 }{ 2 } =\frac { { (x+y+z) }^{ 2 }+33+6\sum { xy } }{ 16 } \\ \le \frac { 9+33+18 }{ 16 } =\frac { 15 }{ 4 } $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuanyeubeo2000: 21-05-2016 - 00:35
Hiện tại là tặng phẩm vì theo cách chơi chữ trong tiếng anh thì hai từ nãy gần như là một
Nên người nước ngoài luôn đưa ra một chân lý và chứng minh nó bằng ý nghĩa của họ chứ không phải cách tạo nên hai từ đó
Vậy nên : Qùa tặng là cuộc sống hiện tại - Hãy nắm nó thật chắc
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh