Chủ đề này có 383 trả lời

[tuanyeubeo2000]

ta có $5(x^{2}+y^{2}+z^{2})= 9(xy+2yz+zx)$$\Leftrightarrow 9x(y+z)-5x^{2}= 5(x^{2}+y^{2})-18yz\geq -2(y+z)^{2}\Rightarrow 2(y+z)^{2}+9x(y+z)-5x^{2}\geq 0\Leftrightarrow 2(y+z)\geq x$

khi đó P=$\frac{x}{y^{2}+z^{2}}-\frac{1}{(x+y+z)^{3}}\leq \frac{2(y+z)}{\frac{(y+z)^{2}}{2}}-\frac{1}{27(y+z)^{3}}= \frac{4}{y+z}-\frac{1}{27(y+z)^{3}}= 4t-\frac{t^{3}}{27}$

với t=$\frac{1}{y+z}$

đến đây xét hàm là xong

max =16 , cách bạn đúng rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuanyeubeo2000: 24-05-2016 - 17:13

[tien123456789]

Bài 103:cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn 9ab+17bc+14ac+12c-18>0 và$a^{2}+b^{2}+c^{2}= 14$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P=$\frac{8(7+ab)\sqrt{5}}{3\sqrt{9ab+17bc+14ac+12c-18}}+\frac{36}{\sqrt{a+b+c+3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 30-05-2016 - 13:04

[phamngochung9a]

Bài 104:Cho $a,b,c$ là những số thực dương thỏa mãn $0< \frac{ab+bc+ca-abc}{ab+bc+ca-1}\leq 1$. 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

   $P=\left ( a^{2}+2 \right )\left ( b^{2}+2 \right )\left ( c^{2}+2 \right )\left [ \left ( \frac{a+b+c-abc}{ab+bc+ca-1} \right )^{2}+2 \right ]$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 30-05-2016 - 13:05

[phamngochung9a]

Bài 103:cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn 9ab+17bc+14ac+12c-18>0 và$a^{2}+b^{2}+c^{2}= 14$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P=$\frac{8(7+ab)\sqrt{5}}{3\sqrt{9ab+17bc+14ac+12c-18}}+\frac{36}{\sqrt{a+b+c+3}}$

Gặp bài này mới thấy rõ được tầm quan trọng của việc lựa chọn điểm rơi....

Từ giả thiết, ta có:

$\left ( a^{2}+b^{2} \right )\left ( 1+4 \right )\geq \left ( a+2b \right )^{2}\\\Rightarrow a^{2}+b^{2}\geq \frac{\left ( a+2b \right )^{2}}{5}\\\Rightarrow 18\geq \frac{\left ( a+2b \right )^{2}}{5}+\frac{5}{9}c^{2}+\frac{4}{9}c^{2}+4\\\geq \frac{2}{3}c\left ( a+2b \right )+\frac{4}{3}c\\\Rightarrow c\left ( a+2b \right )+4c\leq 27\\\Rightarrow 12c\leq 81-3ca-6bc$

Vậy:

$P\geq \frac{4\left [ \left ( a+b \right )^{2}+c^{2} \right ]\sqrt{5}}{3\sqrt{9ab+11bc+11ca+63}}+\frac{36}{\sqrt{a+b+c+3}}\\\geq \frac{2\sqrt{5}\left ( a+b+c \right )^{2}}{3\sqrt{\frac{9}{2}\left ( a+b+c \right )^{2}+2c\left ( a+b \right )}}+\frac{36}{\sqrt{a+b+c+3}}\\\geq \frac{2\sqrt{5}\left ( a+b+c \right )^{2}}{3\sqrt{\frac{9}{2}\left ( a+b+c \right )^{2}+\frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{2}}}+\frac{36}{\sqrt{a+b+c+3}}\\=\frac{2}{3}\left ( a+b+c \right )+\frac{36}{\sqrt{a+b+c+3}}$

Đặt $a+b+c=t$ và xét hàm là ngon roài 

Vậy $\min P=16\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1 & & \\ b=2 & & \\ c=3 & & \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 24-05-2016 - 21:12

[taitueltv]

Bài 3:

 Không mất tính tổng quát:  giả sử $a\geq b\geq c\Rightarrow c\leq \frac{1}{3}$

 

$\Rightarrow a+b\geq a+c\geq b+c$

 

$\Rightarrow T\geq 3\left ( \frac{4}{a+b}-\frac{1}{c} \right )$

 

$=>T\geq \frac{12}{1-c}-\frac{3}{c}$

 

Đặt $f(c)=\frac{12}{1-c}-\frac{3}{c}$ với $0<c \leq \frac{1}{3}$;

 

Khảo sát hàm số f(c) với $0<c \leq \frac{1}{3}$ ta có f(c)=> 9;

 

=> T=>9. Dấu '=' xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$.   ok

Bài này bạn giải bị nhầm thì phải,  sao $f(c) \ge 9$ được nhỉ

[tien123456789]

Bài 104:Cho $a,b,c$ là những số thực dương thỏa mãn $0< \frac{ab+bc+ca-abc}{ab+bc+ca-1}\leq 1$. 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

   $P=\left ( a^{2}+2 \right )\left ( b^{2}+2 \right )\left ( c^{2}+2 \right )\left [ \left ( \frac{a+b+c-abc}{ab+bc+ca-1} \right )^{2}+2 \right ]$

lời giải của dinh de tai

đầu tiên chúng ta dễ dàng chứng minh bổ đề quen thuộc $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geq 3(a+b+c)^{2}$

Nếu $ab+bc+ca\geq 9$ thì $6(a+b+c)^{2}\geq 18(ab+bc+ca)\geq 18.9=162>81$

Nếu $ab+bc+ca\leq 9$ thì ta có $abc(a+b+c)\leq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{3}$ ta có

$P\geq \frac{3\left [ (a+b+c)^{2}-abc(a+b+c) \right ]^{2}}{(ab+bc+ca-1)^{2}}+6(a+b+c)^{2}\geq \frac{\left [ 9(ab+bc+ca)-(ab+bc+ca)^{2} \right ]^{2}}{3(ab+bc+ca-1)^{2}}+18(ab+bc+ca)$.

từ giả thuyết ta dễ dàng suy ra được $abc\geq 1\Rightarrow ab+bc+ca\geq 3$.Đặt t=ab+bc+ca

đến đây xét hàm là xong

MinP=81 đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tien123456789: 25-05-2016 - 14:43

[phamngochung9a]

đầu tiên chúng ta dễ dàng chứng minh bổ đề quen thuộc $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geq 3(a+b+c)^{2}$

Nếu $ab+bc+ca\geq 9$ thì $6(a+b+c)^{2}\geq 18(ab+bc+ca)\geq 18.9=162>81$

Nếu $ab+bc+ca\leq 9$ thì ta có $abc(a+b+c)\leq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{3}$ ta có

$P\geq \frac{3\left [ (a+b+c)^{2}-abc(a+b+c) \right ]^{2}}{(ab+bc+ca-1)^{2}}+6(a+b+c)^{2}\geq \frac{\left [ 9(ab+bc+ca)-(ab+bc+ca)^{2} \right ]^{2}}{3(ab+bc+ca-1)^{2}}+18(ab+bc+ca)$.

từ giả thuyết ta dễ dàng suy ra được $abc\geq 1\Rightarrow ab+bc+ca\geq 3$.Đặt t=ab+bc+ca

đến đây xét hàm là xong

MinP=81 đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

Lúc đầu tui cũng giải cách ni nè, nhưng cách ni sai rùi

Chỗ 

$\left ( a+b+c \right )^{2}-abc\left ( a+b+c \right )\geq 3\left ( ab+bc+ca \right )-\frac{\left ( ab+bc+ca \right )^{2}}{3}$

Ta không thể suy ra được rằng:

$\left [ \left ( a+b+c \right )^{2}-abc\left ( a+b+c \right ) \right ]^{2}\geq \left [ 3\left ( ab+bc+ca \right )-\frac{\left ( ab+bc+ca \right )^{2}}{3} \right ]^{2}$

vì ta chưa biết dấu của $3\left ( ab+bc+ca \right )-\frac{\left ( ab+bc+ca \right )^{2}}{3}$

 

Một ví dụ đơn giản. Chẳng hạn 

$5>-9\Rightarrow 5^{2}> \left ( -9 \right )^{2}???$

Nếu muốn bình phương được, ta phải chứng minh cho 

$3\left ( ab+bc+ca \right )-\frac{\left ( ab+bc+ca \right )^{2}}{3}>0\\\Leftrightarrow ab+bc+ca< 9$

Điều này không hề đúng 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 25-05-2016 - 09:48

[tien123456789]

Lúc đầu tui cũng giải cách ni nè, nhưng cách ni sai rùi

Chỗ 

$\left ( a+b+c \right )^{2}-abc\left ( a+b+c \right )\geq 3\left ( ab+bc+ca \right )-\frac{\left ( ab+bc+ca \right )^{2}}{3}$

Ta không thể suy ra được rằng:

$\left [ \left ( a+b+c \right )^{2}-abc\left ( a+b+c \right ) \right ]^{2}\geq \left [ 3\left ( ab+bc+ca \right )-\frac{\left ( ab+bc+ca \right )^{2}}{3} \right ]$ vì ta chưa biết dấu của $3\left ( ab+bc+ca \right )-\frac{\left ( ab+bc+ca \right )^{2}}{3}$

 

Một ví dụ đơn giản. Chẳng hạn 

$5>-9\Rightarrow 5^{2}> \left ( -9 \right )^{2}???$

Nếu muốn bình phương được, ta phải chứng minh cho 

$3\left ( ab+bc+ca \right )-\frac{\left ( ab+bc+ca \right )^{2}}{3}>0\\\Leftrightarrow ab+bc+ca< 9$

Điều này không hề đúng 

chỗ$3(ab+bc+ca)-\frac{(ab+bc+ca)^{2}}{3}\geq 0$ với $ab+bc+ca\leq9$

sai ở chỗ là chưa biết dấu của $(a+b+c)^{2}-abc(a+b+c)$

[phamngochung9a]

chỗ$(ab+bc+ca)-\frac{(ab+bc+ca)^{2}}{3}\geq 0$ với $ab+bc+ca\leq9$

sai ở chỗ là chưa biết dấu của $(a+b+c)^{2}-abc(a+b+c)$

Ui, tôi nhầm tí, bạn giải đúng rồi đó:

Ta chứng minh được 

$\left ( a+b+c \right )^{2}-abc\left ( a+b+c \right )\geq 3\left ( ab+bc+ca \right )-\frac{\left ( ab+bc+ca \right )^{2}}{3}\geq 0$

thì hiển nhiên $(a+b+c)^{2}-abc(a+b+c)\geq 0$  rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 25-05-2016 - 10:01

[tien123456789]

bài 105:(Trường THPT Cao Bá Quát)cho các số thực dương x,y,z.Tìm GTNN của biểu thức

$\frac{9}{7x+y+4\sqrt{xy}+18\sqrt[3]{xyz}}+\frac{1}{2}(x+y+z)^{2}+2$

[tuanyeubeo2000]

đầu tiên chúng ta dễ dàng chứng minh bổ đề quen thuộc $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geq 3(a+b+c)^{2}$

Nếu $ab+bc+ca\geq 9$ thì $6(a+b+c)^{2}\geq 18(ab+bc+ca)\geq 18.9=162>81$

Nếu $ab+bc+ca\leq 9$ thì ta có $abc(a+b+c)\leq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{3}$ ta có

$P\geq \frac{3\left [ (a+b+c)^{2}-abc(a+b+c) \right ]^{2}}{(ab+bc+ca-1)^{2}}+6(a+b+c)^{2}\geq \frac{\left [ 9(ab+bc+ca)-(ab+bc+ca)^{2} \right ]^{2}}{3(ab+bc+ca-1)^{2}}+18(ab+bc+ca)$.

từ giả thuyết ta dễ dàng suy ra được $abc\geq 1\Rightarrow ab+bc+ca\geq 3$.Đặt t=ab+bc+ca

đến đây xét hàm là xong

MinP=81 đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

sau nhờ người khác thì ghi nguồn vào nhé bạn

[tuanyeubeo2000]

 

 

đầu tiên chúng ta dễ dàng chứng minh bổ đề quen thuộc $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geq 3(a+b+c)^{2}$

Nếu $ab+bc+ca\geq 9$ thì $6(a+b+c)^{2}\geq 18(ab+bc+ca)\geq 18.9=162>81$

Nếu $ab+bc+ca\leq 9$ thì ta có $abc(a+b+c)\leq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{3}$ ta có

$P\geq \frac{3\left [ (a+b+c)^{2}-abc(a+b+c) \right ]^{2}}{(ab+bc+ca-1)^{2}}+6(a+b+c)^{2}\geq \frac{\left [ 9(ab+bc+ca)-(ab+bc+ca)^{2} \right ]^{2}}{3(ab+bc+ca-1)^{2}}+18(ab+bc+ca)$.

từ giả thuyết ta dễ dàng suy ra được $abc\geq 1\Rightarrow ab+bc+ca\geq 3$.Đặt t=ab+bc+ca

đến đây xét hàm là xong

MinP=81 đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

với lại lần sau ghi rõ ra sao có $ abc\ge 1 $ được bạn nhé , vì điều kiện vậy bạn chưa chứng minh mẫu âm hay dương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuanyeubeo2000: 25-05-2016 - 11:19

[tuanyeubeo2000]

Bài 106 : ( THPT NAM SÁCH- HẢI DƯƠNG)  $ Cho\quad a,b,c>0\quad thõa\quad mãn\quad :\quad x+y+z=3\quad .CMR:\\ P=\sum { \frac { x(y+z) }{ 4-yz }  } \ge 2xyz $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 30-05-2016 - 13:01

[tungteng532000]

Bài 106 : ( THPT NAM SÁCH- HẢI DƯƠNG)  $ Cho\quad a,b,c>0\quad thõa\quad mãn\quad :\quad a+b+c=3\quad .CMR:\\ P=\sum { \frac { x(y+z) }{ 4-yz }  } \ge 2xyz $

Bđt cần chứng minh tương đương:
$T=\sum \frac{b+c}{bc(4-bc)}\geq 2$
Lại có: $b+c\geq 2\sqrt{bc}\Rightarrow T\geq \sum \frac{2\sqrt{bc}}{bc(4-bc)}=\sum\frac{2}{\sqrt{bc}(4-bc)}$
Đặt $\sqrt{ab}=x,\sqrt{bc}=y,\sqrt{ca}=z$ suy ra $x+y+z\leq 3$, ta có: $T\geq \sum\frac{2}{x(4-x^2)}$
Ta chứng minh: $\frac{1}{x(4-x^2)}\geq \frac{1}{3}-\frac{1}{9}(x-1)\Leftrightarrow \frac{(x-1)^2(x-1+\sqrt{10})(1+\sqrt{10}-x)}{9x(4-x^2)}\geq 0$
đúng với $0< x<3$
Tương tự ta có: $T\geq 2-\frac{2}{9}(x+y+z-3)\geq 2$ (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.
​
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tungteng532000: 25-05-2016 - 15:32

[tuanyeubeo2000]

Bđt cần chứng minh tương đương:
$T=\sum \frac{b+c}{bc(4-bc)}\geq 2$
Lại có: $b+c\geq 2\sqrt{bc}\Rightarrow T\geq \sum \frac{2\sqrt{bc}}{bc(4-bc)}=\sum\frac{2}{\sqrt{bc}(4-bc)}$
Đặt $\sqrt{ab}=x,\sqrt{bc}=y,\sqrt{ca}=z$ suy ra $x+y+z\leq 3$, ta có: $T\geq \sum\frac{2}{x(4-x^2)}$
Ta chứng minh: $\frac{1}{x(4-x^2)}\geq \frac{1}{3}-\frac{1}{9}(x-1)\Leftrightarrow \frac{(x-1)^2(x-1+\sqrt{10})(1+\sqrt{10}-x)}{9x(4-x^2)}\geq 0$
đúng với $0< x<3$
Tương tự ta có: $T\geq 2-\frac{2}{9}(x+y+z-3)\geq 2$ (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1.
​
 

đoạn sau bạn có thể xử lý bằng C-S mà , sao phải dùng tiếp tuyến cho phức tạp nó nhỉ

[tien123456789]

Bài 107:Chứng Minh Rằng với mọi  a,b,c dương,ta đều có:

$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$\geq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 30-05-2016 - 13:03

[tien123456789]

bài 108:Cho các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=$\frac{3}{2}$.Tìm GTNN của biểu thức

P=$(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 30-05-2016 - 13:03

[nguyenhongsonk612]

Bài 85:Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=3xy$.Tìm Min của:

$P=\frac{x^2}{y^2+yz}+\frac{y}{z+x}+\frac{x^2+y^2}{x^2+z^2}$

$\boxed{\text{Bài toán 85}}$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta  có 

$3xy=x^2+y^2+z^2\geqslant 2xy+z^2\Rightarrow z^2\leqslant xy\Rightarrow z\leqslant \sqrt{xy}$

$\rightarrow \frac{x^2+y^2}{x^2+z^2}\geqslant \frac{\frac{(x+y)^2}{2}}{x^2+xy}=\frac{x+y}{2x}=\frac{1+\frac{y}{x}}{2}$

Theo BĐT $AM-GM$ thì 

$\frac{x^2}{y^2+yz}+\frac{y}{z+x}\geqslant 2\sqrt{\frac{x^2y}{y(z+x)(z+y)}}=\frac{2x}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}\geqslant \frac{4x}{2z+x+y} \geqslant \frac{4x}{2\sqrt{xy}+x+y}=\frac{4x}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}=\frac{4}{\begin{pmatrix} 1+\sqrt{\frac{y}{x}} \end{pmatrix}^2}$

Từ các điều trên ta có 

$P\geqslant \frac{1+\frac{y}{x}}{2} +\frac{4}{\begin{pmatrix} 1+\sqrt{\frac{y}{x}} \end{pmatrix}^2}$

Đặt $t=\sqrt{\frac{y}{x}}(t>0)$

$\Rightarrow P\geqslant f(t)=\frac{1+t^2}{2}+\frac{4}{(1+t)^2}$

Khảo sát hàm $f(t)$ trên $(0;+\infty$) ta được $f(t)\geqslant f(1)=2$

Vậy Min $P=2$ $\Leftrightarrow x=y=z$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 26-05-2016 - 08:27

[Dinh Xuan Hung]

Bài 109: (Đề thi thử SD và ĐT tỉnh Ninh Bình 2016)

 

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn : $\frac{1}{c^2}=\frac{2}{a^2}+\frac{2}{b^2}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của :

 

$$P=\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{a+2c}+\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 30-05-2016 - 13:03

[tien123456789]

Bài 109: (Đề thi thử SD và ĐT tỉnh Ninh Bình 2016)

 

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn : $\frac{1}{c^2}=\frac{2}{a^2}+\frac{2}{b^2}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của :

 

$$P=\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{a+2c}+\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

ta có $\frac{1}{c^{2}}= 2(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}})\geq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^{2}\Leftrightarrow \frac{1}{c}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\Rightarrow ab\geq c(a+b)$

$P=\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{a+2c}+\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\geq \frac{(a+b)^{2}}{2ab+c(a+b)}+\frac{1}{\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}+1}}\geq \frac{(a+b)^{2}}{4ab}+\frac{1}{\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}+1}}$

mà theo giả thiết $\frac{1}{c^{2}}= \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\Rightarrow c^{2}=\frac{a^{2}b^{2}}{2(a^{2}+b^{2})}$ nên suy ra

$P\geq \frac{a^{2}+b^{2}}{4ab}+\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2(\frac{a^{2}+b^{2}}{ab})^{2}+1}}$

đặt $\frac{a^{2}+b^{2}}{ab}= t$ sau đó xét hàm là xong

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tien123456789: 25-05-2016 - 22:07