Chủ đề này có 383 trả lời

[phamngochung9a]

$ \left( { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+1+1 \right) { \left( 1+1+1+{ z }^{ 2 } \right) \ge { \left( x+y+z+1 \right)  }^{ 2 } }\\ =>\sum { \frac { 1 }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+2 }  } \le \sum { \frac { { z }^{ 2 }+3 }{ { (x+y+z+1) }^{ 2 } }  } =\frac { \sum { { x }^{ 2 } } +9 }{ 16 } \\ =>P\le \frac { \sum { { x }^{ 2 } } +9 }{ 16 } +\sum { \sqrt { xy }  } \le \frac { \sum { { x }^{ 2 } } +9 }{ 16 } +\frac { \sum { xy } +3 }{ 2 } =\frac { { (x+y+z) }^{ 2 }+33+6\sum { xy }  }{ 16 } \\ \le \frac { 9+33+18 }{ 16 } =\frac { 15 }{ 4 } $

Hix, đề bài yêu cầu tìm GTNN mà bạn ????  

[phamngochung9a]

Bài 86:Cho x,y là các số thực thỏa mãn: $x,y\in [1;3]$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{x}{x^3+x(y-2x)+3}+\frac{y+1}{(x+2y+2)(y+1)-6y+2}+\frac{4\sqrt{5(x+y+1)}}{25}$

 

Bài 87:Cho x,y là các số không âm thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=5$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=(x+z)\sqrt{\frac{z}{x^2+y^2}}+\frac{3x^2+4y^2+8z^2+8}{16z}+\frac{z}{2}-\frac{y}{4}-\frac{1}{8}$

 

Bài 88:Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn: $4z^2+41=9xy(2z+3)$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{x}{\sqrt{x^2+9yz}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+9zx}}+\frac{1}{2\sqrt{10}}(z^2+5)$

 

Bài 89:Cho các số thực a,b,c thuộc đoạn [1;3] thỏa mãn: a+b+c=6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+12abc+72}{ab+bc+ca}-\frac{1}{2}abc$

 

Bài 90:Xét số thực x. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{\sqrt{3(2x^2+2x+1)}}{3}+\frac{1}{\sqrt{2x^2+(3-\sqrt{3})x+3}}+\frac{1}{\sqrt{2x^2+(3+\sqrt{3})x+3}}$

 

Bài 91:Với các số thực dương a,b thỏa mãn: $a^2+b^2=ab+1$. Tìm GTLN của biểu thức:
$P=\sqrt{7-3ab}+\frac{a-2}{a^2+1}+\frac{b-2}{b^2+1}$

 

Bài 92:Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn. Chứng minh BDT:
$\sum \frac{x+1}{y+1}\le \sum \frac{x}{y}$

Bài 88:

Đặt $A=\sum \frac{x}{\sqrt{x^{2}+9yz}}$. Theo BĐT $Holder$, ta có:

$A^{2}\left [ x\left ( x^{2}+9yz \right )+y\left ( y^{2}+9zx \right )+z\left ( z^{2}+9xy \right ) \right ]\geq \left ( x+y+z \right )^{3}\\\Rightarrow A^{2}\geq \frac{\left ( x+y+z \right )^{3}}{x^{3}+y^{3}+z^{3}+27xyz}$

Mà: $\frac{\left ( x+y+z \right )^{3}}{x^{3}+y^{3}+z^{3}+27xyz}-\frac{9}{10}\\=\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}+30\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )-243xyz}{\left ( x^{3}+y^{3}+z^{3}+27xyz \right )}\geq 0$

$\Rightarrow A\geq \sqrt{\frac{9}{10}}\\\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{x^{2}+9yz}}+\frac{y}{\sqrt{y^{2}+9zx}}\geq \sqrt{\frac{9}{10}}-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+9xy}}$

Ta sẽ chứng minh: $z^{2}+9xy\geq 10$, thật vậy:

$z^{2}+9xy-10=z^{2}+\frac{4z^{2}+41}{2z+3}-10=\frac{\left ( z-1 \right )^{2}\left ( 11z+2 \right )}{2z+3}\geq 0$

Do đó:

$P\geq \sqrt{\frac{9}{10}}+\frac{1}{2\sqrt{10}}\left ( z^{2}+5 \right )-\frac{z}{\sqrt{10}}=\sqrt{\frac{9}{10}}+\frac{1}{2\sqrt{10}}\left ( z^{2}-2z+5 \right )\geq \frac{\sqrt{10}}{2}$

Vậy $\min P=\frac{\sqrt{10}}{2}\Leftrightarrow x=y=z=1$

Bài 89: Chính là đề thi THPT Quốc gia năm ngoái mà  . Lên Google search cả đống

Bài 90: Trong đề đầu tiên của ấn phẩm Ba câu phân loại.... của diễn đàn.

Bài 91:

$P=\frac{1}{2}.2.\sqrt{7-3ab}+\frac{ab\left ( a+b \right )+a+b-2\left ( a^{2}+b^{2} \right )-4}{a^{2}b^{2}+ab+2}\\\leq \frac{11-3ab}{4}+\frac{ab\left ( a+b \right )+a+b-2ab-6}{a^{2}b^{2}+ab+2}$

Từ đề bài: $1=a^{2}+b^{2}-ab\geq \frac{1}{4}\left ( a+b \right )^{2}\Rightarrow a+b\leq 2$

Vậy: $P\leq \frac{11-3ab}{4}-\frac{4}{a^{2}b^{2}+ab+2}$

Đặt $t=ab\leq \frac{\left ( a+b \right )^{2}}{4}\leq 1$, khi đó:

$P\leq \frac{11-3t}{4}-\frac{4}{t^{2}+t+2}$

Khảo sát hàm số trên với $t\in \left (0;1 \right ]$, ta được $P\leq 1$

Bài 92:

Vừa có người giải ở trên mà. Tuy nhiên, ta cũng có thể tổng quát hóa bài toán là:

$\sum \frac{a+t}{b+t}\leq \sum \frac{a}{b}$     $\forall t\geq 0$

 

P.s: Sao dạo nay không thấy Dinh Xuan Hung bôi đỏ mấy bài làm rồi nhỉ. Nhìn khó quá, không biết bài nào giải rồi, bài nào chưa giải 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 21-05-2016 - 19:56

[tien123456789]

Mình cũng xin đóng góp một số bài

Bài 93:cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1.CMR

$\frac{1}{(a+1)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{(1+c)^{2}}+\frac{4}{(1+a+b+c)^{2}}\geq 1$

Bài 94:cho ba số thực a,b,c sao cho $c= min\left \{ a;b;c \right.\left. \right \}\geq 1$.hãy tìm GTNN của biểu thức

S=$\frac{9}{(2a+b)^{2}}+\frac{36}{4(2b+a)^{2}+45(c-1)^{2}}+\sqrt{a+b+c-1}$

Bài 95:cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn xyz=x+y+zvaf z>0.hãy tìm GTLN của biểu thức 

M=$\frac{1}{x^{2}+1}-\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{6z}{\sqrt{(z^{2}+1)^{3}}}$

Bài 96:cho a,b,c>0 và a+4b+9c=1 chứng minh rằng

$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq \frac{1}{1296}$

Bài 97:cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=1.Tìm GTLN của:

P=$9xy+10yz+11zx$

Bài 99:cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}= xy+2z$.Tìm GTNN:

P=$(\frac{x}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y}{x^{2}+z^{2}})^{2}+\frac{8z^{3}}{(x^{2}+z^{2})(y^{2}+z^{2})}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 30-05-2016 - 13:06
Lần sau ghi đúng STT

[tuanyeubeo2000]

Bài 100 : Cho x,y,z là các số dương thõa mãn : xyz=1 . Tìm min của : 

$ P=\sum { \frac { { x }^{ 3 }+1 }{ \sqrt { { x }^{ 4 }+y+z }  }  } -\frac { 8\sum { xy }  }{ (\sum { xy } )+1 } $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 22-05-2016 - 16:59
Bài BĐT Thứ 100 :)

[tuanyeubeo2000]

Hix, đề bài yêu cầu tìm GTNN mà bạn ????  

vâng cảm ơn bạn nhé , mình xin lỗi không đọc kĩ 

[tuanyeubeo2000]

Bài 93 (THPT Bỉm Sơn lần I)

Cho x,y,z thuộc $[0;2]$ thỏa: $x+y+z=3$

Tim min: $$P=\sum \frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}+\sum \sqrt{xy}$$

Thực ra hôm trước mình có đọc đề bài là tìm max , còn nếu tìm min thì mình thử gửi cách như sau ( Lời giải bởi bác Triển - FB :Dinh de Tai) : 

$ Không\quad mất\quad tính\quad tổng\quad quát\quad giả\quad sử\quad :\quad x\ge y\ge z=>2\ge x\ge 1\quad và\quad y+z\ge 1->xy>0.\quad Ta\quad có:\\ \frac { 1 }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+2 } \ge \frac { 1 }{ { x }^{ 2+ }{ (y+z) }^{ 2 }+2 } ;\frac { 1 }{ { y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+2 } \ge \frac { 1 }{ { (y+z) }^{ 2 }+2 } .Mặt\quad khác:\quad \\ \sqrt { \sum { xy }  } -\sqrt { x(y+z) } =\frac { yz }{ \sqrt { \sum { xy }  } +\sqrt { x(y+z) }  } \ge \frac { { { z }^{ 2 } } }{ 2\sqrt { 3 }  } \ge \frac { { z }^{ 2 } }{ ({ x }^{ 2 }+2)({ x }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+2) } nên\\ \sqrt { \sum { xy }  } -\sqrt { x(y+z) } \ge \sqrt { x(y+z) } +\frac { 1 }{ x^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+2 } +\frac { { z }^{ 2 } }{ ({ x }^{ 2 }+2)({ x }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }+2) } =\sqrt { x(y+z) } +\frac { 1 }{ { x }^{ 2 }+2 } \\ Thay\quad y+z=3-x\quad và\quad kết\quad hợp\quad các\quad đánh\quad giá\quad ta\quad quy\quad về\quad \\ P\ge f\left( x \right) =\frac { 1 }{ { x }^{ 2 }+2 } +\frac { 1 }{ { 2x }^{ 2 }-6x+11 } +\frac { 1 }{ { x }^{ 2 }-6x+11 } +\sqrt { x(3-x) } (x\epsilon \left[ 1;2 \right] \quad và\quad chú\quad ý\quad các\quad đánh\quad giá\quad )\\ \frac { 1 }{ { 2x }^{ 2 }-6x+11 } =\frac { 1 }{ 2(x-1)(x-2)+7 } \ge \frac { 1 }{ 7 } mặt\quad khác\quad ta\quad cũng\quad có\quad \\ \left( \frac { 1 }{ { x }^{ 2 }+2 } -\frac { 1 }{ 6 }  \right) +\left( \frac { 1 }{ { 2x }^{ 2 }-6x+11 } -\frac { 1 }{ 3 }  \right) =\frac { (x-1)(2-x)({ x }^{ 2 }-3x-2) }{ { 2({ x }^{ 2 }+2 })({ x }^{ 2 }-6x+11) } \ge \frac { (x-1)(x-2)(x+1) }{ 9 } \ge \frac { (x-1)(x-2) }{ 3 } \\ \sqrt { x(3-x) } -\sqrt { 2 } =\frac { (x-1)(2-x) }{ \sqrt { x(3-x) } +\sqrt { 2 }  } \ge \frac { (x-1)(2-x) }{ \frac { 3 }{ 2 } +\frac { 3 }{ 2 }  } \ge \frac { (x-1)(2-x) }{ 3 } từ\quad đây\quad sẽ\quad có\\ P\ge \frac { 2\sqrt { 2 } +1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 7 } .Dấu\quad bằng\quad khi\quad (x,y,z)=(2,1,0)\quad và\quad các\quad hóa\quad vị $

[tpdtthltvp]

Bài 96:cho a,b,c>0 và a+4b+9c=1 chứng minh rằng

$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq \frac{1}{1296}$

 

Áp dụng BĐT $Holder$:

$$(a^3+b^3+c^3)(1^3+2^3+3^3)(1^3+2^3+3^3)\geq (a+4b+9c)^3$$

$$\Leftrightarrow 1296(a^3+b^3+c^3)\geq 1(\text{do} a+4b+9c=1) \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\geq \frac{1}{1296}$$

Dấu "=" xảy ra khi $a=\frac{1}{36},b=\frac{1}{18},c=\frac{1}{12}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 22-05-2016 - 16:42

[chidungdijiyeon]

Bạn dùng bđt này là làm đc nhé: $\sum x\geq \sum x^2y^2$ với $\sum x^2=3$

bài này giá trị của nó là mấy vậy bạn?

[yeutoanmanhliet]

Bài 62: Cho x,y,z thuộc [1;2]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$E=\frac{2(xy+yz+zx)}{xyz+2(2x+y+z)}+\frac{8}{2x(y+z)+yz+4}-\frac{y

các bạn chỉ mình cách gõ đc ko mình có đáp án nhưng ko biết gõ    

[tuanyeubeo2000]

các bạn chỉ mình cách gõ đc ko mình có đáp án nhưng ko biết gõ    

http://s1.daumcdn.ne...romestore.html 

cậu dùng cái này hoặc dùng ngay phần mềm gõ LATEX của diễn đàn chú ý nè : trước có ($ ) sau kết thúc có ($) 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuanyeubeo2000: 23-05-2016 - 02:46

[tien123456789]

bài 101:(chuyên thái bình lần 5)

cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1.CMR

$\frac{a^{4}+b^{2}c^{2}}{a^{2}\sqrt{b^{2}+c^{2}}}+\frac{b^{4}+a^{2}c^{2}}{b^{2}\sqrt{a^{2}+c^{2}}}+\frac{c^{4}+a^{2}b^{2}}{c^{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\geq \sqrt{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 30-05-2016 - 13:04

[Dinh Xuan Hung]

bài 101:(chuyên thái bình lần 5)

cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1.CMR

$\frac{a^{4}+b^{2}c^{2}}{a^{2}\sqrt{b^{2}+c^{2}}}+\frac{b^{4}+a^{2}c^{2}}{b^{2}\sqrt{a^{2}+c^{2}}}+\frac{c^{4}+a^{2}b^{2}}{c^{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\geq \sqrt{2}$

Lời giải của Thầy Tăng Hải Tuân

 

[tritanngo99]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $abc=1$. Chứng minh rằng:

$\sum a^2+9\sum ab\ge 10\sum a$

(Chú ý: giải bằng PP hàm số).

[tuanyeubeo2000]

bài 101:(chuyên thái bình lần 5)

cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1.CMR

$\frac{a^{4}+b^{2}c^{2}}{a^{2}\sqrt{b^{2}+c^{2}}}+\frac{b^{4}+a^{2}c^{2}}{b^{2}\sqrt{a^{2}+c^{2}}}+\frac{c^{4}+a^{2}b^{2}}{c^{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\geq \sqrt{2}$

$ Đặt\quad P=\frac { { a }^{ 4 } }{ { a }^{ 2 }\sqrt { { b }^{ 2 }{ +c }^{ 2 } }  } \overset { C-S }{ \ge  } \frac { { (\sum { { a }^{ 2 } } ) }^{ 2 } }{ \sum { a\sqrt { { a }^{ 2 }{ b }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }{ c }^{ 2 } }  }  } \ge \frac { { (\sum { { a }^{ 2 } } ) }^{ 2 } }{ \sqrt { 2(\sum { { a }^{ 2 } } )(\sum { { a }^{ 2 }{ b }^{ 2 } }  }  } \\ \ge \frac { { (\sum { { a }^{ 2 } } ) }^{ 2 } }{ \sqrt { \frac { 2 }{ 3 } { (\sum { { a }^{ 2 } } ) }^{ 3 } }  } \ge \frac { \sqrt { 3(\sum { { a }^{ 2 }) }  }  }{ \sqrt { 2 }  } \ge \frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } \\ Q=\sum { \frac { { a }^{ 2 }{ b }^{ 2 } }{ { c }^{ 2 }\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } }  } =\sum { \frac { { a }^{ 4 }{ b }^{ 4 } }{ { a }^{ 2 }{ b }^{ 2 }c\sqrt { { a }^{ 2 }{ c }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }{ c }^{ 2 } }  } \ge \frac { { (\sum { { a }^{ 2 }{ b }^{ 2 }) }  }^{ 2 } }{ \sum { { a }^{ 2 }{ b }^{ 2 }c\sqrt { { a }^{ 2 }{ c }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }{ c }^{ 2 } }  }  }  }  } \\ \ge \frac { { (\sum { { a }^{ 2 }{ b }^{ 2 }) }  }^{ 2 } }{ abc\sqrt { 2{ (\sum { { a }^{ 2 }{ b }^{ 2 }) }  }^{ 3 } }  } \ge \frac { \sqrt { \sum { { a }^{ 2 }{ b }^{ 2 } }  }  }{ abc\sqrt { 2 }  } \ge \frac { abc(a+b+c) }{ abc\sqrt { 2 }  } =\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } \\ =>P+Q\ge \sqrt { 2 } $

[phamngochung9a]

Mình cũng xin đóng góp một số bài

Bài 94:cho ba số thực a,b,c sao cho $c= min\left \{ a;b;c \right.\left. \right \}\geq 1$.hãy tìm GTNN của biểu thức

S=$\frac{9}{(2a+b)^{2}}+\frac{36}{4(2b+a)^{2}+45(c-1)^{2}}+\sqrt{a+b+c-1}$

Anh Bí xem lại đề Bài 93 nhá, BĐT sai với $\left\{\begin{matrix} a=1 & & \\ b=\frac{1}{3} & & \\ c=3 & & \end{matrix}\right.$

Còn Bài 95 thì hình như giả thiết gõ sai dấu của $y$ thì phải 

Bài 94:

Ta sẽ chứng minh: $4\left ( 2b+a \right )^{2}+45\left ( c-1 \right )^{2}\leq 4\left ( 2b+a+3c-3 \right )^{2}$

Thật vậy, BĐT trên tương đương với:

$24\left ( 2b+a \right )\left ( c-1 \right )\geq 9\left ( c-1 \right )^{2}\\\Leftrightarrow 3\left ( c-1 \right )\left ( 16b+8a-3c+3 \right )\geq 0\left ( TRUE \right )$

Suy ra:

$S\geq \frac{9}{\left ( 2a+b \right )^{2}}+\frac{9}{\left ( 2b+a+3c-3 \right )^{2}}+\sqrt{a+b+c-1}\\\geq \frac{72}{\left ( 3a+3b+3c-3 \right )^{2}}+\sqrt{a+b+c-1}\\=\frac{8}{\left ( a+b+c-1 \right )^{2}}+\frac{\sqrt{a+b+c-1}}{4}+\frac{\sqrt{a+b+c-1}}{4}+\frac{\sqrt{a+b+c-1}}{4}+\frac{\sqrt{a+b+c-1}}{4}\\\geq 5\sqrt[5]{8.\frac{1}{4^{4}}}=\frac{5}{2}$

[phamngochung9a]

Mình cũng xin đóng góp một số bài

Bài 97:cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=1.Tìm GTLN của:

P=$9xy+10yz+11zx$

Thế $z=1-x-y$ vào $P$, ta có: 

$P=9xy+10y\left ( 1-x-y \right )+11x\left ( 1-x-y \right )\\=-11x^{2}+x\left ( 11-12y \right )+10y-10y^{2}$

Coi biểu thức trên là tam thức bậc hai đối với $x$, ta có:

$P\leq \frac{-\bigtriangleup }{4.\left ( -11 \right )}=\frac{\left ( 11-12y \right )^{2}+44\left ( 10y-10y^{2} \right )}{44}\\=\frac{-296y^{2}+176y+121}{44}\leq \frac{495}{148}$

Vậy $\max P=\frac{495}{148}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{25}{74} & & \\ y=\frac{11}{37} & & \\ z=\frac{27}{74} & & \end{matrix}\right.$

[phamngochung9a]

Mình cũng xin đóng góp một số bài

Bài 93:cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1.CMR

$\frac{1}{(a+1)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{(1+c)^{2}}+\frac{4}{(1+a+b+c)^{2}}\geq 1$

Chắc chỉ có cách trâu bò ni mới xơi được:

Đặt $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{a+1}=x & & \\ \frac{1}{b+1}=y & & \\ \frac{1}{c+1}=z & & \end{matrix}\right.$

Ta có: 

$abc=\left ( \frac{1}{x}-1 \right )\left ( \frac{1}{y}-1 \right )\left ( \frac{1}{z}-1 \right )=1\\\Leftrightarrow 2xyz=1-x-y-z+xy+yz+zx$

Khi đó:

$VT=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{\left ( 1+xy+yz+zx-x-y-z \right )^{2}}{\left ( x+y+z-1 \right )^{2}}$

Đặt $\left\{\begin{matrix} p=x+y+z & \\ q=xy+yz+zx & \end{matrix}\right.$, ta cần chứng minh:

$p^{2}-2q+\frac{\left ( 1+q-p \right )^{2}}{\left ( p-1 \right )^{2}}\geq 1\\\Leftrightarrow p^{2}\left ( p-1 \right )^{2}-2q\left (p-1 \right )^{2}+1+p^{2}+q^{2}+2q-2pq-2p\geq p^{2}-2p+1\\\Leftrightarrow p^{2}\left ( p-1 \right )^{2}-2p^{2}q+4pq-2q+q^{2}+2q-2pq\geq 0\\\Leftrightarrow p^{2}\left ( p-1 \right )^{2}-2p\left ( p-1 \right ).q+q^{2}\geq 0\\\Leftrightarrow \left ( p^{2}-p-q \right )^{2}\geq 0\left ( TRUE \right )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 23-05-2016 - 21:21

[tien123456789]

Chắc chỉ có cách trâu bò ni mới xơi được:

Đặt $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{a+1}=x & & \\ \frac{1}{b+1}=y & & \\ \frac{1}{c+1}=z & & \end{matrix}\right.$

Ta có: 

$abc=\left ( \frac{1}{x}-1 \right )\left ( \frac{1}{y}-1 \right )\left ( \frac{1}{z}-1 \right )=1\\\Leftrightarrow 2xyz=1-x-y-z+xy+yz+zx$

Khi đó:

$VT=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{\left ( 1+xy+yz+zx-x-y-z \right )^{2}}{\left ( x+y+z-1 \right )^{2}}$

Đặt $\left\{\begin{matrix} p=x+y+z & \\ q=xy+yz+zx & \end{matrix}\right.$, ta cần chứng minh:

$p^{2}-2q+\frac{\left ( 1+q-p \right )^{2}}{\left ( p-1 \right )^{2}}\geq 1\\\Leftrightarrow p^{2}\left ( p-1 \right )^{2}-2q\left (p-1 \right )^{2}+1+p^{2}+q^{2}+2q-2pq-2p\geq p^{2}-2p+1\\\Leftrightarrow p^{2}\left ( p-1 \right )^{2}-2p^{2}q+4pq-2q+q^{2}+2q-2pq\geq 0\\\Leftrightarrow p^{2}\left ( p-1 \right )^{2}-2p\left ( p-1 \right ).q+q^{2}\geq 0\\\Leftrightarrow \left ( p^{2}-p-q \right )^{2}\geq 0\left ( TRUE \right )$

cách khác 

đặt p=a+b+c và q=ab+bc+ca,khi đó ta có

(1+a)(1+b(1+c)=p+q+2 và

$1-\sum \frac{1}{(1+a)^{2}}= 1-\frac{\sum (1+a)^{2}(1+b)^{2}}{(p+q+2)^{2}}= 1-\frac{\left [ \sum (1+a)(1+b) \right ]^{2}-2(p+q+2)(a+b+c+3)}{(p+q+2)^{2}}= 1-\frac{(2p+q+3)^{2}-2(p+q+2)(p+3)}{(p+q+2)^{2}}= \frac{4q+8-(p-1)^{2}}{(p+q+2)^{2}}$

khi đó ta cần chứng minh

$\frac{4}{(p+1)^{2}}\geq \frac{4q+8-(p-1)^{2}}{(p+q+2)^{2}}$

$\Leftrightarrow \left ( p^{2}-2q-3 \right )^{2}\geq 0$

đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

[tuanyeubeo2000]

Bài 102 ( Thi thử Chuyên Nguyễn Huệ lần 3 )

$ Cho\quad x,y,z>0\quad thõa\quad mãn:\quad 5(\sum { { x }^{ 2 } } )=9(xy+2yz+zx)\\ Tìm\quad max\quad của\quad P=\frac { x }{ { y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } } -\frac { 1 }{ { (x+y+z) }^{ 3 } } $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 30-05-2016 - 13:04

[tien123456789]

Bài 102 ( Thi thử Chuyên Nguyễn Huệ lần 3 )

$ Cho\quad x,y,z>0\quad thõa\quad mãn:\quad 5(\sum { { x }^{ 2 } } )=9(xy+2yz+zx)\\ Tìm\quad max\quad của\quad P=\frac { x }{ { y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } } -\frac { 1 }{ { (x+y+z) }^{ 3 } } $

ta có $5(x^{2}+y^{2}+z^{2})= 9(xy+2yz+zx)$$\Leftrightarrow 9x(y+z)-5x^{2}= 5(x^{2}+y^{2})-18yz\geq -2(y+z)^{2}\Rightarrow 2(y+z)^{2}+9x(y+z)-5x^{2}\geq 0\Leftrightarrow 2(y+z)\geq x$

khi đó P=$\frac{x}{y^{2}+z^{2}}-\frac{1}{(x+y+z)^{3}}\leq \frac{2(y+z)}{\frac{(y+z)^{2}}{2}}-\frac{1}{27(y+z)^{3}}= \frac{4}{y+z}-\frac{1}{27(y+z)^{3}}= 4t-\frac{t^{3}}{27}$

với t=$\frac{1}{y+z}$

đến đây xét hàm là xong