Chủ đề này có 6 trả lời

[BachMieu]

Câu $1$ : 

$1.1$ Cho $x,y,z>0$, $x+y+z=1$. Chứng minh:

$P=$ $\dfrac{x+y}{z}$  +$\dfrac{z+x}{y}$+$\dfrac{y+z}{x}$ $\ge$ 4($\dfrac{x}{y+z}$ + $\dfrac{y}{z+x}$ + $\dfrac{z}{x+y})$ 

$1.2*$ Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+2abc=1$. Chứng minh:

$a^2+b^2+c^2 \ge 4(a^2 b^2+b^2 c^2+c^2a^2)$

Câu $2$:

$2.1$ Cho $a,b,c>0$, $abc=1$. Chứng minh rằng:

$ a^3+b^3+c^3 $ + $\dfrac{1}{a^3}$ + $\dfrac{1}{b^3}$ + $\dfrac{1}{c^3}$ $\ge$ $2(a^2 b + b^2 c + c^2 a)$

$2.2*$ Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh:

$\dfrac{x^3}{y^3}$ + $\dfrac{y^3}{x^3}$ + $\dfrac{y^3}{z^3}$ + $\dfrac{z^3}{y^3}$ + $\dfrac{z^3}{x^3}$ + $\dfrac{x^3}{z^3}$ $\ge$ $2$($\dfrac{x^2}{yz}$ + $\dfrac{y^2}{zx}$ + $\dfrac{z^2}{xy}$)

 

Câu $3*$:Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Tìm $GTNN$ của biểu thức:

$P =$ $\dfrac{b+c}{a}$ + $\dfrac{a+c}{b}$ + $\dfrac{b+a}{c}$ + $\dfrac{a}{b+c}$ + $\dfrac{b}{c+a}$ + $\dfrac{c}{a+b}$

Câu $4*$: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa $xy+yz+zx=1$. Chứng minh:

$A=$ $10x^2+10y^2+z^2$ $\ge$ $4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BachMieu: 03-07-2016 - 13:07

[ngoalong131209]

1.1) Áp dụng bđt:$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$

P=$\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}$ =$x(\frac{1}{z}+\frac{1}{y})+y(\frac{1}{z}+\frac{1}{x})+z(\frac{1}{y}+\frac{1}{x})$$\geq$$4(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y})$

[Baoriven]

Câu 3: Ta có: $P=\frac{3}{4}(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c})+(\frac{b+c}{4a}+\frac{a}{b+c})+(\frac{c+a}{4b}+\frac{b}{c+a})+(\frac{a+b}{4c}+\frac{c}{a+b})$

                         $\geq \frac{3}{4}.6+1+1+1=\frac{15}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 03-07-2016 - 18:21

[dat9adst20152016]

2.1) đpcm$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}}\geq 2(\frac{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}{abc})=2(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b})$

Ta có: a³+$\frac{1}{c^{3}}$+1$\geq 3\frac{a}{c}$

          $b^{3}+\frac{1}{a^{3}}+1\geq 3\frac{b}{a}$

          $c^{3}+\frac{1}{b^{3}}+1\geq 3\frac{c}{b}$

Cộng 3 bđt lại ta có:  $a^{3}+b^{3}+c^{3}+\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}}\geq 2(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b})+(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}-3)\geq 2(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b})$

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dat9adst20152016: 03-07-2016 - 18:34

[dat9adst20152016]

2.2) $\frac{x^{3}}{y^{3}}+\frac{x^{3}}{z^{3}}+1\geq 3\frac{x^{2}}{yz}$

       $\frac{y^{3}}{z^{3}}+\frac{y^{3}}{x^{3}}+1\geq 3\frac{y^{2}}{zx}$

       $\frac{z^{3}}{y^{3}}+\frac{z^{3}}{x^{3}}+1\geq 3\frac{z^{2}}{xy}$

Cộng lại có:VT$\geq VP+(\frac{x^{2}}{yz}+\frac{y^{2}}{zx}+\frac{z^{2}}{xy}-3)\geq VP$

Dấu = xảy ra khi x=y=z

[Baoriven]

Câu 4: Ta có:

$12x^2+12y^2+3z^2=\frac{x^2}{\frac{1}{12}}+\frac{y^2}{\frac{1}{12}}+\frac{z^2}{\frac{1}{3}}$

                               $\geq \frac{(x+y+z)^2}{\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{3}}=2(x+y+z)^2$

Suy ra: $A\geq 4(xy+yz+zx)=4$

Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=\frac{1}{3};z=\frac{4}{3}$

[cristianoronaldo]

Câu $1$ : 

$1.1$ Cho $x,y,z>0$, $x+y+z=1$. Chứng minh:

$P=$ $\dfrac{x+y}{z}$  +$\dfrac{z+x}{y}$+$\dfrac{y+z}{x}$ $\ge$ 4($\dfrac{x}{y+z}$ + $\dfrac{y}{z+x}$ + $\dfrac{z}{x+y})$ 

$1.2*$ Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+2abc=1$. Chứng minh:

$a^2+b^2+c^2 \ge 4(a^2 b^2+b^2 c^2+c^2a^2)$

Câu $2$:

$2.1$ Cho $a,b,c>0$, $abc=1$. Chứng minh rằng:

$ a^3+b^3+c^3 $ + $\dfrac{1}{a^3}$ + $\dfrac{1}{b^3}$ + $\dfrac{1}{c^3}$ $\ge$ $2(a^2 b + b^2 c + c^2 a)$

$2.2*$ Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Chứng minh:

$\dfrac{x^3}{y^3}$ + $\dfrac{y^3}{x^3}$ + $\dfrac{y^3}{z^3}$ + $\dfrac{z^3}{y^3}$ + $\dfrac{z^3}{x^3}$ + $\dfrac{x^3}{z^3}$ $\ge$ $2$($\dfrac{x^2}{yz}$ + $\dfrac{y^2}{zx}$ + $\dfrac{z^2}{xy}$)

 

Câu $3*$:Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Tìm $GTNN$ của biểu thức:

$P =$ $\dfrac{b+c}{a}$ + $\dfrac{a+c}{b}$ + $\dfrac{b+a}{c}$ + $\dfrac{a}{b+c}$ + $\dfrac{b}{c+a}$ + $\dfrac{c}{a+b}$

Câu $4*$: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa $xy+yz+zx=1$. Chứng minh:

$A=$ $10x^2+10y^2+z^2$ $\ge$ $4$

Câu 1.2:

Đặt $\left\{\begin{matrix} a^2=xy\\ b^2=yz\\ c^2=zx\end{matrix}\right.$

Khi đó ta có xy+yz+zx+2xyz=1 và đồng thời bất đẳng thức cần chứng minh trở thành trở thành;

$\sum \frac{1}{x}\geq 4\sum x$

Từ giả thiết ta có:

$xy+yz+zx+2(x+y+z)+3=2xyz+2(xy+yz+zx)+2(x+y+z)+2$

$\sum (x+1)(y+1)=2\prod (x+1)\Rightarrow \sum \frac{1}{x+1}=2$

$\Rightarrow \sum \frac{x}{x+1}$=1

Đặt $\left\{\begin{matrix} \frac{x}{x+1}=m\\ \frac{y}{y+1}=n\\ \frac{z}{z+1}=p\end{matrix}\right.$ khi đó ta có:$\left\{\begin{matrix} x=\frac{m}{n+p}\\ y=\frac{n}{m+p}\\ z=\frac{p}{m+n}\end{matrix}\right.$

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

$\sum \frac{m+n}{p}\geq 4(\sum \frac{p}{m+n})$

Như vậy là ra bài toán 1.1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cristianoronaldo: 03-07-2016 - 23:02