Chủ đề này có 1 trả lời

[supernatural1]

Tìm các cặp số nguyên dương (x;y) của phương trình: $ p^{x}-y^{p}=1 $. Với p là số nguyên tố lẻ cho trước.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supernatural1: 27-07-2016 - 21:07

[superpower]

Ta có $y^p \equiv y $ ( mod $p$)

Do đó, ta có $p^x = y^p -y + y+1 $

Xét mod $p => y+1 \vdots p $

Do đó, ta có $v_p(y^p +1) = v_p(y+1)  +1 = x => y+1= p ^{x-1}. l (l,p)=1 $

Mà vế trái không có ước nguyên tố khác $p$, do đó $l=1$

Mặt khác

$y^p +1 = (y+1)(y^{p-1} -y^{p-2} + ....+1 )$

Suy ra $y^{p-1} -y^{p-2} +...+1 =p $

Dễ thấy vô lý

Do đó, chỉ cần xét các trường hợp tầm thường là ra