Chủ đề này có 1 trả lời

[tritanngo99]

Cho số nguyên $n>1$. Tìm số tất cả các hoán vị $(a_1,a_2,...,a_n)$ của các số $1,2,...,n$ thỏa mãn tính chất sau: Tồn tại chỉ một chỉ số $i\in \text{{1,2,...,n-1}}$ sao cho $a_i>a_{i+1}$

[JUV]

Xét $1$ hoán vị $(a_1;a_2;...;a_n)$ thỏa mãn tính chất chỉ tồn tại duy nhất $1$ số $i$ sao cho $a_i>a_{i+1}$. Lúc này dễ thấy dãy $a_1,a_2,...,a_i$ và $a_{i+1},...,a_n$ tăng dần. Từ đó ta thấy rằng với $1$ cách chọn dãy $a_1,a_2,...,a_i$ tăng dần thì chỉ có nhiều nhất $1$ cách chọn dãy $a_{i+1},...,a_n$ tăng dần. Lưu ý là nếu $a_1,a_2,...,a_i$ là $i$ số tự nhiên đầu tiên thì không thể chọn được $a_{i+1}$ do $a_{i+1}>a_i$. Với mỗi cách chọn $i$ số $(a_1,a_2,...,a_i)$ trong $n$ số nguyên dương đầu tiên thì chỉ có $1$ cách sắp xếp chúng theo thứ tự tăng dần. Vậy số cách chọn một hoán vị $(a_1;a_2;...;a_n)$ thỏa mãn đề bài bằng số cách chọn $1$ bộ số $(a_1;a_2;...;a_i)$ với $i$ chạy từ $1$ đến $n$ và bộ số đó không phải là bộ các số tự nhiên đầu tiên liên tiếp, hay số cách chọn là bằng $2^n-n-1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi JUV: 20-11-2016 - 22:36