Cách 1:
Chọn $x=y=0.8,z=1.4$ dễ dàng kiểm chứng $k=1,2$ BĐT trên không đúng. Ta sẽ chứng minh $k$ nguyên dương nhỏ nhất để BĐT đề bài cho luôn đúng là $k=3$.
Với $k=3$ ta cần chứng minh: ${x^3}{y^3}{z^3}\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right) \le 3$
Không mất tính tổng quát ta giả sử $x \le y \le z$. Khi đó luôn tồn tại $m>n \geq 0$ sao cho $x=m-n,y=m+n$. Khi đó:
$$z = 3 - 2m; m = \frac{{x + y}}{2} \le 1$$
* Xét hàm số: $$\displaystyle f\left( n \right) = {\left( {m - n} \right)^3}{\left( {m + n} \right)^3}{z^3}\left[ {{z^3} + {{\left( {m - n} \right)}^3} + {{\left( {m + n} \right)}^3}} \right] = {z^3}{\left( {{m^2} - {n^2}} \right)^3}\left( {{z^3} + 2{m^3} + 6m{n^2}} \right)$$
Khi đó:
$$f'(n)= {z^3}{\left( {{m^2} - {n^2}} \right)^2}\left( { - 6nz^3 - 48m{n^3}} \right) \le 0$$
Do đó:
$$f\left( n \right) \le f\left( 0 \right) = {m^6}{z^3}\left( {{z^3} + 2{m^3}} \right) = {m^6}{\left( {3 - 2m} \right)^3}\left( {{{\left( {3 - 2m} \right)}^3} + 2{m^3}} \right)$$
* Xét hàm số :
$$g\left( m \right) = {m^6}{\left( {3 - 2m} \right)^3}\left[ {{{\left( {3 - 2m} \right)}^3} + 2{m^3}} \right]$$
Ta có:
$$g'\left( m \right)= 18{m^5}{\left( {3 - 2m} \right)^2}\left( {m - 1} \right)\left[ {\left( {m - 1} \right)\left( {8{m^2} - 37m + 26} \right) - 1} \right] \ge 0$$
Vậy $$g\left( m \right) \le g\left( 1 \right) = 3$$
Tức: $${x^3}{y^3}{z^3}\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right) \le 3$$
Cách 2: (Nguyễn Văn Huyện)
Lập luận tương tự như cách 1. Ta cần chứng minh:$${x^3}{y^3}{z^3}\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right) \le 3$$
Không mất tính tổng quát ta giả sử $z$ là số lớn nhất trong ba số $x,y,z$. Đặt $\displaystyle t = \frac{{x + y}}{2}$ và:$$f\left( {x,y,z} \right) = {x^3}{y^3}{z^3}\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)$$
Ta sẽ chứng minh $f\left( {x,y,z} \right) \le f\left( {t,t,z} \right)$.
Ta có:
$$f\left( {t,t,z} \right) - f\left( {x,y,z} \right) = {z^3}\left[ {{t^6}\left( {2{t^3} + {z^3}} \right) - {x^3}{y^3}\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)} \right]$$
Mà:
$${t^6}\left( {2{t^3} + {z^3}} \right) - {x^3}{y^3}\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right) = {z^3}\left( {{t^6} - {x^3}{y^3}} \right) + 2{t^9} - {x^3}{y^3}\left( {{x^3} + {y^3}} \right)= {z^3}\left( {{t^6} - {x^3}{y^3}} \right) + 2{t^9} - {x^3}{y^3}\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2} - xy} \right)= {z^3}\left( {{t^6} - {x^3}{y^3}} \right) + 2{t^9} - 2t{x^3}{y^3}\left( {4{t^2} - 3xy} \right)\ge {t^3}\left( {{t^6} - {x^3}{y^3}} \right) + 2{t^9} - 2t{x^3}{y^3}\left( {4{t^2} - 3xy} \right)= 3t\left( {{t^2} - xy} \right)\left[ {{t^6} + xy\left( {2xy + {t^2}} \right)\left( {{t^2} - xy} \right)} \right] \ge 0$$
Vậy $$f\left( {x,y,z} \right) \le f\left( {t,t,z} \right) = f\left( {t,t,3 - 2t} \right) = {t^6}{(3 - 2t)^3}\left[ {2{t^3} + {{(3 - 2t)}^3}} \right]$$
Ta chỉ cần chứng minh: $${t^6}{(3 - 2t)^3}\left[ {2{t^3} + {{(3 - 2t)}^3}} \right] \le 3$$
(Làm như cách 1)
Còn một cách làm và vài lời nhận xét bạn đọc quan tâm xem link đính kèm!
https://goo.gl/p4xQPV
Edited by 1110004, 22-09-2016 - 11:49.