Cho ba số a,b,c dương thỏa mãn: $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}=\sqrt{2014}$
Chứng minh : $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{1}{2}\sqrt{1007}$
Chứng minh $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{1}{2}\sqrt{1007}$
Bắt đầu bởi Hagoromo, 28-09-2016 - 20:32
bất đẳng thức và cực trị
#2
Đã gửi 28-09-2016 - 21:59
NTA1907
-
- Thành viên
-
- 1014 Bài viết
Thượng úy
Cho ba số a,b,c dương thỏa mãn: $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}=\sqrt{2014}$
Chứng minh : $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{1}{2}\sqrt{1007}$
Ta có:
$\sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \sum \frac{a^{2}}{\sqrt{2(b^{2}+c^{2})}}$
Đặt $\sqrt{a^{2}+b^{2}}=x, \sqrt{b^{2}+c^{2}}=y, \sqrt{c^{2}+a^{2}}=z\Rightarrow x+y+z=\sqrt{2014}$
$\Rightarrow a^{2}=\frac{z^{2}+x^{2}-y^{2}}{2}, b^{2}=\frac{y^{2}+x^{2}-z^{2}}{2}, c^{2}=\frac{y^{2}+z^{2}-x^{2}}{2}$
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
$\sum \frac{z^{2}+x^{2}-y^{2}}{2\sqrt{2}y}\geq \frac{1}{2}\sqrt{1007}$
Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:
$\sum \frac{z^{2}+x^{2}-y^{2}}{2\sqrt{2}y}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left ( \sum \frac{x^{2}}{y}+\sum \frac{y^{2}}{x}-\sum x \right )\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}(x+y+z)=\frac{1}{2}\sqrt{1007}$
Ta có đpcm.
- le truong son yêu thích
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực trị
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
