Chủ đề này có 239 trả lời

[Minhnksc]

Bài toán 72. (Sưu tầm)

Cho tam giác $ABC$ nhọn có đường cao $AH$. $D$ nằm trên cung nhỏ $BH$ của đường tròn đường kính $AB$. Đường thẳng $DH$ cắt đường tròn đường kính $AC$ tại điểm $E$ khác $H$. Chứng minh rằng $AN\perp MN$. 

 

Cho mình hỏi nhé, điểm M và điểm N....ở đâu vậy??? 

[Drago]

Bài toán 71. (Kỉ niệm 50 năm tạp chí THTT)

Cho tam giác $ABC$ cố định, nội tiếp đường tròn $(O)$. $P$ là một điểm di động trên cung $BC$ không chứa $A$ của $(O)$. Gọi $(K)$ là đường tròn đi qua $A,P$ đồng thời tiếp xúc với $AC$. $(K)$ cắt $PC$ tại $S$ khác $P$. Gọi $(L)$ là đường tròn đi qua $A,P$ tiếp xúc với $AB$. $(L)$ cắt $PB$ tại điểm $T$ khác $P$. Chứng minh rằng đường thẳng $ST$ luôn đi một điểm cố định khi $P$ di động trên cung $BC$.

Bài toán 72. (Sưu tầm)

Cho tam giác $ABC$ nhọn có đường cao $AH$. $D$ nằm trên cung nhỏ $BH$ của đường tròn đường kính $AB$. Đường thẳng $DH$ cắt đường tròn đường kính $AC$ tại điểm $E$ khác $H$. Chứng minh rằng $AN\perp MN$. 

Spoiler

Bạn $Mr. Cooper$ gửi đáp án Bài 59 nhé. Lâu rồi chưa ai làm được.
Mình cũng sẽ gửi đáp án bài 64 ngày mai ,nếu chưa ai làm được.

Bài toán 72: Không thấy điểm M, N ở đâu?

[Kiratran]

Bài toán 72
dễ chứng minh $\triangle ABC \sim \triangle ADE$
từ đó => $\triangle ABM \sim \triangle ADN$

=> $AMHN$ là tứ giác nội tiếp
=> $\angle AHM= \angle ANM$
=> ĐPCM
 

[HoangTienDung1999]

Bài toán 73:

[Nguyenphuctang]

Trước khi đề xuất bài toán tiếp theo tôi có một yêu cầu nho nhỏ không biết các bạn có hưởng ứng không: Khi đăng bài mới xin hãy đăng kèm hình theo nếu có thể.

 

Bài 74: (Nguyễn Minh Hà)

Cho tam giác $ABC$, với tâm ngoại tiếp $(O)$ và tâm nội tiếp $I$. $D$ là hình chiếu của $I$ lên $BC$. $M$ là trung điểm $BC$. $K$ là điểm đối xứng của $M$ qua $AI$. Chứng minh rằng: $KD \perp OI$. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenphuctang: 01-05-2017 - 16:33

[123mothaiba]

Lời giải khác cho bài 36: 

bn up lại bài 36 đi.Rip r

[123mothaiba]

co

 

Bài 49: Chuyên LHP NĐ 06-07

   Cho tam giác nhọn ABC với AH vuông góc với BC .M  là điểm di chuyển trên đoạn BC.Đường trung trực BM cắt AB tại E và đường trung trực của CM cắt AC tại F.Qua M dựng đường thẳng Mx vuông góc với EF .Mx cắt  (E ; EM ) tại N

a)Cmr N thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

b)Mx luôn đi qua  1 điểm cố định K

c)Xác  định dạng của tam giác ABC để KM.KN  không đổi.
 

k có lời giải ak bn

[123mothaiba]

Topic thi vào lớp 10 chuyên.png

a) $MC=MH ; DB=DC \Rightarrow DM \parallel AB \Rightarrow \angle BAN=  \angle DMN$

 và $ \angle BAN =  \angle DCN$ (cùng chắn cung $BC$)

$\Rightarrow \angle DMN = \angle DCN$

$\Rightarrow$ Tứ giác $CMDN$ nội tiếp

b) Bạn xem lại đề câu này nhé

c) Gọi $J$ là giao điểm của $CN$ và $SA$

Theo hệ thức lượng: $DJ^2 = JN.JC$ $(1)$

$\angle SBN = \angle BAN = \angle BCN = \angle JDN$

$\Rightarrow$ Tứ giác $BDNS$ nội tiếp

$\Rightarrow \angle DSN = \angle DBN = \angle NAC = \angle JCS$

$\Rightarrow \Delta JSN \sim \Delta JCS$ $(g.g)$

$\Rightarrow JS^2 = JN.JC$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ $\Rightarrow$ $JS=JD$

$\Rightarrow$ $CN$ chia đôi $SD$.

Câu b đi bn 

[Uchiha sisui]

Xin đề xuất bài toán tiếp theo cho topic của thầy Hùng !

 

Bài 75. ( Chuyên Toán TPHCM ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là trung điểm của cạnh BC và N là điểm đối xứng của M qua O. Đường thẳng qua A vuông góc với AN cắt đường thẳng qua B vuông góc với BC tại D. Kẻ đường kính AE. Chứng minh rằng:

 

1) Chứng minh: $ BA.BC=2BD.BE$

 

2) Chứng minh CD đi qua trung điểm của đường cao AH của tam giác ABC

 

 

 

 

Hình gửi kèm

• 

[Kiratran]

Bài 75
a, Có $\angle DBA=\angle CBE$ (cùng phụ $ABC$)
Có $\angle DAB=90^o -\angle BAN=90^o- \angle BAE - \angle MEA=\angle BEM $
=> $\triangle BDA \sim \triangle BME$
=> đpcm
b. Gọi giao của $BD$ và $AC$ là $K$
dễ chứng minh $\triangle BKA \sim \triangle BCE$
=> $D$ là trung điểm của $BK$
lại có $AH//BK$
=> $CD$ đi qua trung điểm của
$AH$
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kiratran: 02-05-2017 - 17:46

[Uchiha sisui]

Bài 75
a, Có $\angle DBA=\angle CBE$ (cùng phụ $ABC$)
Có $\angle DAB=90^o -\angle BAN=90^o- \angle BAE - \angle MEA=\angle BEM $
=> $\triangle BDA \sim \triangle BME$
=> đpcm
b. Gọi giao của $BD$ và $AC$ là $K$
dễ chứng minh $\triangle BKA \sim \triangle BCE$
=> $D$ là trung điểm của $BK$
lại có $AH//BK$
=> $CD$ đi qua trung điểm của
$AH$
 

Chú ý: Khi giải bạn cần phải có hình vẽ nhé! Góp ý nho nhỏ !  

[Kiratran]

mình không biết vẽ hình, thông cảm cho mình với

 

 

Chú ý: Khi giải bạn cần phải có hình vẽ nhé! Góp ý nho nhỏ !  

[05479865132]

Bài 76(Chuyên Bến Tre 2013-2014)

Cho đường tròn tâm O.Từ một điểm A nằm ngoài đường tron kẻ các tiếp tuyến AT và AS với đường tròn (T,S là các tiếp điểm).Trên cung lớn TS lấy diem D sao cho $\angle TOD<\angle SOD<180$.Kẻ các đường cao TE,SF và đường trung tuyến DM cua tam giác TSD.

a)Chứng minh rằng:

 i)DE.TA=DT.TM

 ii) $\angle DOT=\angle ETM$

 iii)Tam giác DEM đồng dạng với tam giác DTA

b)Gọi N la giao điểm cua DM và EF; P là giao điểm của AD và TS. Chứng minh rằng NP song song với AM

[NTMFlashNo1]

Bài toán 73:

nohinh.png

Lời giải:

a) câu này khá dễ . Nhiều sách nâng cao đã đè cập vấn đề này nên tôi sẽ không chứng minh lại

b)

Đặt $BC=a,CA=b,AB=c,AB+BC+CA=p$ 

$r,R$ là bán kính đường tròn nội,ngoại tiếp tam giác

$EFIO$ nội tiếp

$\Leftrightarrow \widehat{EFO}=\widehat{EIO}$

$\Leftrightarrow \widehat{OEF}=\widehat{IAO}+\widehat{AOI}$

$\Leftrightarrow \widehat{FEA}=\widehat{IOA}$

$\Leftrightarrow \triangle AIO\sim \triangle IKE$

$\Leftrightarrow \frac{AI}{IK}=\frac{AO}{IE}$  $(1)$

Ta có: $cos\frac{A}{2}=\frac{b+c-a}{2AI}=cos\widehat{EBC} \frac{a}{2BE}=\frac{a}{2EI}$

$(1)\Leftrightarrow \frac{b+c-a}{2cos\frac{A}{2}.r}=\frac{aR}{2cos\frac{A}{2}}$

$\Leftrightarrow Rr=\frac{b+c-a}{a}$

Mà $S_{ABC}=p.r=\frac{abc}{4R}=\sqrt{p\left ( p-a \right )\left ( p-b \right )\left ( p-c \right )}$  $(2)$

Thay $(2)$ vào có đpcm.

Hình gửi kèm

• 

[Uchiha sisui]

 Xin tiếp tục với một bài toán tiếp theo, mỗi ngày tôi sẽ cố gắng up 1 bài để giữ lửa cho topic của thầy Hùng! Nhất là ở thời điểm '' nhạy cảm '' này khi kì thi chuyên toán đang đến rất gần, hi vọng các bạn up nhiều bài tập hơn nữa !    

 

Bài 77. Cho tam giác ABC không phải là tam giác cân. Đường tròn (O) tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P;  đường thẳng NP cắt BO, CO lần lượt tại E và F.

 

1) Chứng minh rằng: $\widehat{OEN}$ và $\widehat{OCA}$ bằng nhau hoặc bù nhau.

 

2) Chứng minh rằng: B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn

 

3) Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF. Chứng minh O, M, K thẳng hàng.

 

                                       (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán Thành Phố Hà Nội 2013-2014)

 

 

Hình gửi kèm

• 

[TenLaGi]

Bài 77:

a,Ta có : $\widehat{ENC}=\widehat{PNA }=\frac{180^\circ -\widehat{BAC}}{2}$

Mặt khác: $\widehat{COE}=180^\circ -\widehat{BOC}=180^\circ -(180^\circ -\frac{\widehat{ABC}}{2}-\frac{\widehat{ACB}}{2})=\frac{180^\circ -\widehat{BAC}}{2}$

Suy ra $\widehat{COE}=\widehat{CNE}$$\Rightarrow CONE nội tiếp$ 

$\Rightarrow \widehat{OEN}=\widehat{OCA}$

b,Vì OCEN nội tiếp $\Rightarrow \widehat{OEC}=\widehat{ONC}=90^\circ =\widehat{OPB}=\widehat{OFB}$

Suy ra BFEC nội tiếp

c,Kẻ đường kính OI .Vì E thuôc đường tròn đường kính OI $\Rightarrow \widehat{OEI}=\widehat{OEC}=90^\circ$

Suy ra I,E,C thẳng hàng.

Mặt khác:$\widehat{OIE}=\widehat{OFE}$ do OFIE nội tiếp

$\widehat{BFP}=\widehat{BCE}$ do BFEC nội tiếp

Mà $\widehat{BFP}+\widehat{OFE}=90^\circ$

Suy ra$\widehat{OIE}+\widehat{BCI}=90^\circ$

suy ra OI vuông góc với BC

Mà OM vuông góc với BC

Suy ra O,M,K thẳng hàng 

[haccau]

Bài 76(Chuyên Bến Tre 2013-2014)

Cho đường tròn tâm O.Từ một điểm A nằm ngoài đường tron kẻ các tiếp tuyến AT và AS với đường tròn (T,S là các tiếp điểm).Trên cung lớn TS lấy diem D sao cho $\angle TOD<\angle SOD<180$.Kẻ các đường cao TE,SF và đường trung tuyến DM cua tam giác TSD.

a)Chứng minh rằng:

 i)DE.TA=DT.TM

 ii) $\angle DOT=\angle ETM$

 iii)Tam giác DEM đồng dạng với tam giác DTA

b)Gọi N la giao điểm cua DM và EF; P là giao điểm của AD và TS. Chứng minh rằng NP song song với AM

Lời giải bài 76:

a)

i) Dễ thấy: $\Delta TAM$ vuông tại M và: $\angle MTA =\angle TOM = \frac{\angle TOS}{2} = \angle TDE$

=> $\Delta DTE \sim \Delta TAM (g-g) \rightarrow \frac{DT}{TA} = \frac{DE}{TM}\rightarrow DT.TM=DE.TA$

ii) (bạn xem lại đề nhé)

iii) Dễ thấy: TM = ME = MS 

Có: $\widehat{DEM}=90^{o}+\widehat{TEM}=90^{o}+\widehat{ETM}=\widehat{TDE}+\widehat{DTE}+\widehat{ETM}=\widehat{DTM}+\widehat{MTA}= \widehat{DTA}$

=> $\widehat{DEM}= \widehat{DTA}$

mà: $\frac{DT}{TA}= \frac{DE}{TM}=\frac{DE}{EM} \Rightarrow \Delta DTA\sim \Delta DEM (c-g-c)$

b)Dễ thấy: EFTS nội tiếp => $\widehat{DEN} = \widehat{DTP}$ (1)

vì $\Delta DTA \sim \Delta DEM (c-g-c) \rightarrow \widehat{TND} = \widehat{NDE}$ (2)

và: $\frac{DT}{DE}= \frac{DA}{DM}$

Từ (1) và (2) => $\Delta DTP \sim \Delta DEN (g-g)\rightarrow \frac{DT}{DE}= \frac{DP}{DN} \rightarrow \frac{DP}{DN}= \frac{DA}{DM}$

=> NP//AM

[Uchiha sisui]

Bài 77:

a,Ta có : $\widehat{ENC}=\widehat{PNA }=\frac{180^\circ -\widehat{BAC}}{2}$

Mặt khác: $\widehat{COE}=180^\circ -\widehat{BOC}=180^\circ -(180^\circ -\frac{\widehat{ABC}}{2}-\frac{\widehat{ACB}}{2})=\frac{180^\circ -\widehat{BAC}}{2}$

Suy ra $\widehat{COE}=\widehat{CNE}$$\Rightarrow CONE nội tiếp$ 

$\Rightarrow \widehat{OEN}=\widehat{OCA}$

b,Vì OCEN nội tiếp $\Rightarrow \widehat{OEC}=\widehat{ONC}=90^\circ =\widehat{OPB}=\widehat{OFB}$

Suy ra BFEC nội tiếp

c,Kẻ đường kính OI .Vì E thuôc đường tròn đường kính OI $\Rightarrow \widehat{OEI}=\widehat{OEC}=90^\circ$

Suy ra I,E,C thẳng hàng.

Mặt khác:$\widehat{OIE}=\widehat{OFE}$ do OFIE nội tiếp

$\widehat{BFP}=\widehat{BCE}$ do BFEC nội tiếp

Mà $\widehat{BFP}+\widehat{OFE}=90^\circ$

Suy ra$\widehat{OIE}+\widehat{BCI}=90^\circ$

suy ra OI vuông góc với BC

Mà OM vuông góc với BC

Suy ra O,M,K thẳng hàng 

Cảm ơn bạn khi nào giải nhớ vẽ hình nhé   

[TenLaGi]

Cảm ơn bạn khi nào giải nhớ vẽ hình nhé   

Mình thấy hình bạn vẽ sẵn rồi nên thôi~~  

[Nguyenphuctang]

Cảm ơn bạn khi nào giải nhớ vẽ hình nhé   

 

Mình thấy hình bạn vẽ sẵn rồi nên thôi~~  

Hai bạn đừng spam nữa nhé loãng topic ở đây là đăng bài ko phải để tranh luận nếu có thắc mắc xin hãy trao đổi qua tin nhắn đừng nên đăng ở đây. 

Về việc bạn  Uchiha Sisui nhắc nhở các thành viên gửi kèm hình theo đó là việc không thể bắt buộc. Người khác tham gia đóng góp cho Topic đã là quý rồi việc họ đăng hình hay không là việc của họ mình không có quyền bắt buộc (Nội quy topic cũng không bắt buộc) tùy vào mỗi cá nhân thôi. Thầy Hùng không onl thường xuyên nên mình là người quản lí topic này. Nếu có thắc mắc xin vui lòng gửi qua tin nhắn mình sẽ giải đáp hoặc trao đổi lại với thầy Hùng sau.
Nhắc thêm Uchiha Sisui  em ghi nguồn vào các bài toán đề xuất nhé anh thấy em đăng vài bài mà không ghi nguồn. Nếu không biết hãy để sưu tầm

 

Bài toán đề xuất tiếp theo :

Bài 78:  (Czech-Slovak-Polish  2013)

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ .$P$ là điểm chính giữa cung có chứa điểm $A$ .$(X)$ là đường tròn đường kính $PC$ .$K,L$ lần lượt là giao điểm của phân giác trong góc $BAC$ với ($K$ gần $A$).$M$ là điểm đối xứng của $L$ qua $BC$ . Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $BKM$ đi qua trung điểm của $BC$ .

P/s: Chưa ai giải bài $74$ nhỉ?