Lời giải:
a) câu này khá dễ . Nhiều sách nâng cao đã đè cập vấn đề này nên tôi sẽ không chứng minh lại
b)
Đặt $BC=a,CA=b,AB=c,AB+BC+CA=p$
$r,R$ là bán kính đường tròn nội,ngoại tiếp tam giác
$EFIO$ nội tiếp
$\Leftrightarrow \widehat{EFO}=\widehat{EIO}$
$\Leftrightarrow \widehat{OEF}=\widehat{IAO}+\widehat{AOI}$
$\Leftrightarrow \widehat{FEA}=\widehat{IOA}$
$\Leftrightarrow \triangle AIO\sim \triangle IKE$
$\Leftrightarrow \frac{AI}{IK}=\frac{AO}{IE}$ $(1)$
Ta có: $cos\frac{A}{2}=\frac{b+c-a}{2AI}=cos\widehat{EBC} \frac{a}{2BE}=\frac{a}{2EI}$
$(1)\Leftrightarrow \frac{b+c-a}{2cos\frac{A}{2}.r}=\frac{aR}{2cos\frac{A}{2}}$
$\Leftrightarrow Rr=\frac{b+c-a}{a}$
Mà $S_{ABC}=p.r=\frac{abc}{4R}=\sqrt{p\left ( p-a \right )\left ( p-b \right )\left ( p-c \right )}$ $(2)$
Thay $(2)$ vào có đpcm.