Đến nội dung


Hình ảnh

CMR: $\frac{1}{ab+2c^{2}+2c}+\frac{1}{bc+2a^{2}+2a}+\frac{1}{ca+2b^{2}+2b}\geq \frac{1}{ab+bc+ac}$

bđt 9

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 LinhToan

LinhToan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 269 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:TOÁN HỌC

Đã gửi 09-03-2017 - 20:40

1. a,.b.,c dương thỏa mãn a+b+c=1.

CMR: $\frac{1}{ab+2c^{2}+2c}+\frac{1}{bc+2a^{2}+2a}+\frac{1}{ca+2b^{2}+2b}\geq \frac{1}{ab+bc+ac}$

2. a,b,c dương.

CMR: $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 2abc+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$

3. a,b,c dương thỏa mãn : a+b+c=3.

CMR: $\frac{a^{2}+bc}{b+ca}+\frac{b^{2}+ca}{c+ab}+\frac{c^{2}+a}{a+bc}\geq 3$



#2 quangtohe

quangtohe

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 88 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Haiduong city,CNT Haiduong

Đã gửi 09-03-2017 - 21:31

3.Đặt A=$\sum \frac{a^{2}+bc}{b+ca}$

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có : $3b+3ac= (a+b+c)b+3ac\leq \sum a^{2}+\sum ab$

Suy ra: $\frac{a^{2}+bc}{a+bc}\geq \frac{3a^{2}+3bc}{\sum a^{2}+\sum ab}$

Thiết lập 3 BĐT tương tự rồi cộng lại ta đc đpcm

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chi khi a=b=c=1


quangtohe1234567890


#3 NHoang1608

NHoang1608

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K46 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{\lim_{I\rightarrow U} Love= +\infty}$

Đã gửi 09-03-2017 - 22:59

2) BĐT đã cho tương đương với: 

    $(a^{3}+b^{3}+c^{3})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 2abc( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) + a^{2}+b^{2}+c^{2}$

    $\Leftrightarrow (a^{3}+b^{3}+c^{3})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 2(ab+bc+ca)+a^{2}+b^{2}+c^{2}$

    $\Leftrightarrow (a^{3}+b^{3}+c^{3})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq (a+b+c)^{2}$

Mặt khác áp dụng bđt Cauchy-Schwarzt thì ta có $(a^{3}+b^{3}+c^{3})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq (a+b+c)^{2}$

Từ đây suy ra ĐPCM. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.


The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.

----- Michelangelo----


#4 quangtohe

quangtohe

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 88 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Haiduong city,CNT Haiduong

Đã gửi 10-03-2017 - 12:40

1. Ta có $\sum \frac{1}{ab+2c^{2}+2c}= \sum \frac{1}{(2c+b)(2c+a)}$ (do a+b+c=1)

Áp dụng bđt AM-GM ta có $\frac{1}{(2c+b)(2c+a)}= \frac{ab}{(2bc+ab)(2ac+ab)}\geq \frac{ab}{(ab+bc+ca)^{2}}$

CM 3 bđt tương tự rồi cộng lại ta đc đpcm

Dấu = xảy ra <=> $a= b= c= \frac{1}{3}$


quangtohe1234567890


#5 LinhToan

LinhToan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 269 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:TOÁN HỌC

Đã gửi 11-03-2017 - 19:40

1. Ta có $\sum \frac{1}{ab+2c^{2}+2c}= \sum \frac{1}{(2c+b)(2c+a)}$ (do a+b+c=1)

Áp dụng bđt AM-GM ta có $\frac{1}{(2c+b)(2c+a)}= \frac{ab}{(2bc+ab)(2ac+ab)}\geq \frac{ab}{(ab+bc+ca)^{2}}$

CM 3 bđt tương tự rồi cộng lại ta đc đpcm

Dấu = xảy ra <=> $a= b= c= \frac{1}{3}$

cảm ơn ạ!!! sao bạn nghĩ ra hay vậy???


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LinhToan: 11-03-2017 - 19:44






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh