Chứng minh rằng tồn tại vô hạn các số nguyên tố.
Cách giải (của sách):
Giả sử chỉ có hữu hạn các số nguyên tố là $p_{1}, p_{2}, ..., p_{n}$ và giả sử $p_{1} < p_{2} < ... < p_{n}$.
Xét tích $A = p_{1}.p_{2}...p_{n} + 1$. Rõ ràng $A > p_{n}$ nên $A$ là hợp số, do đó $A$ có ít nhất một ước số nguyên tố $p$. Khi đó do $p_{1}, p_{2}, ..., p_{n}$ là tất cả các số nguyên tố nên tồn tại $i \in$ {$1, 2, ..., n$} sao cho $p = p_{i}$.
Như vậy $A \vdots p$ ; $(p_{1}.p_{2}...p_{n}) \vdots p$ nên $1 \vdots p$, mâu thuẫn.
Do đó giả sử chỉ có hữu hạn các số nguyên tố là sai. Vậy có vô hạn các số nguyên tố.
Mình không hiểu một vài chỗ như sau:
1. Vì sao lại xét $A = p_{1}.p_{2}...p_{n} + 1$ mà không xét $A = p_{1}.p_{2}...p_{n}$ hay $A = p_{n} + 1$ ...v.v (vì bản chất $A$ cũng đã lớn hơn $p_{n}$ nên là hợp số)
2. Vì sao từ $A \vdots p$ và $(p_{1}.p_{2}...p_{n}) \vdots p$ mà suy ra được $1 \vdots p$?
Ai biết giúp mình nhé.
Mình cảm ơn.
Xin lần lượt trả lời từng thắc mắc như sau :
1) Vì sao lại xét $A=p_1.p_2...p_n+1$ mà không xét số khác ?
Vì đây là cách chứng minh phản chứng.Ta phải chọn $A$ như thế nào đó để trong quá trình lập luận sẽ phát sinh mâu thuẫn.
Nếu chọn $A'=p_1.p_2...p_n$ thì sao ?
$A'> p_n\Rightarrow A'$ là hợp số $\Rightarrow A'\ \vdots \ p=p_i$ ($i\in\left \{ 1,2,...,n \right \}$.Rồi sao nữa ? Có gì mâu thuẫn đâu ?
Nếu chọn $A''=p_n+1$ ?
$A''> p_n\Rightarrow A''$ là hợp số $\Rightarrow A''\ \vdots \ p=p_i$ ($i\in\left \{ 1,2,...,n \right \}$.Cũng chẳng có gì mâu thuẫn !
2) Ta có $A=(p_1p_2...p_n+1)\ \vdots \ p$
Mà $(p_1p_2...p_n)\ \vdots \ p\Rightarrow 1\ \vdots \ p$
Cái này là áp dụng tính chất : Nếu $(a+b)\ \vdots \ c$ và $a\ \vdots \ c$ thì $b\ \vdots \ c$.
(Nếu ta không chọn $A$ mà chọn $A'$ hoặc $A''$ ở trên thì làm sao áp dụng được tính chất này, làm sao phát sinh ra mâu thuẫn $1\ \vdots \ p$ ?)
