Chứng minh rằng với mọi số nguyên $a, b, c$, ta luôn tìm được số nguyên dương $n$ sao cho $f(n) = n^{3} + an^{2} + bn + c$ không phải là số chính phương.
Cách giải (của sách):
Giả sử ngược lại, tồn tại $a, b, c \in Z$ để với mọi số nguyên dương $n$ thì $f(n)$ là số chính phương.
Khi đó:
$f(1) = 1 + a + b + c$,
$f(2) = 8 + 4a + 2b + c$,
$f(3) = 27 + 9a + 3b + c$,
$f(4) = 64 + 16a + 4b + c$
là số chính phương.
Nhận xét rằng: Một số chính phương khi chia cho $4$ chỉ có số dư là $0$ hoặc $1$. Do đó số dư trong phép chia hiệu của $2$ số chính phương cho $4$ chỉ có thể là $0, 1$ hoặc $-1$.
Ta có: $f(4) - f(2) = 12a + 2b + 56 = 4(3a + 14) + 2b$, mà $2b$ là số chẵn nên theo nhận xét trên thì $2b \ \vdots \ 4$. (1)
Tương tự, $f(3) - f(1) = 8a + 2b + 56 = 4(2a + 6) + (2b + 2)$, mà $2b + 2$ là số chẵn nên $(2b + 2) \ \vdots \ 4$. (2)
Từ (1) và (2) suy ra $2 \ \vdots \ 4$, vô lí. Do đó giả sử trên là sai.
Vậy ta có đpcm.
Mình thắc mắc một vài chỗ như sau:
1. Vì sao từ "Một số chính phương khi chia cho $4$ chỉ có số dư là $0$ hoặc $1$" mà có thể suy ra "số dư trong phép chia hiệu của $2$ số chính phương cho $4$ chỉ có thể là $0, 1$ hoặc $-1$" ?
2. Vì sao từ $2b$ là số chẵn mà có thể suy ra $2b \ \vdots \ 4$ ? Tương tự với $2b + 2$.
Ai biết thì giải đáp những thắc mắc trên giùm mình nhé.
Mình cảm ơn nhiều.
