Cho $n$ là số tự nhiên khác $0$, $a$ là ước nguyên dương của $2n^{2}$. Chứng minh rằng $n^{2} + a$ không thể là số chính phương.
Cách giải (của sách):
Giả sử $n^{2} + a = x^{2}$ (1) với $x \in Z$. Do $a$ là ước nguyên dương của $2n^{2}$ nên $2n^{2} = ka, k \in N^{*}$. Khi đó $x^{2} = n^{2} + a = n^{2} + \frac{2n^{2}}{k} \Rightarrow (\frac{kx}{n})^{2} = k^{2} + 2k \in N^{*}$. Vậy $k^{2} + 2k$ là số chính phương. Điều này vô lí vì $k^{2} < k^{2} + 2k < (k + 1)^{2}$. Suy ra đpcm.
Mình thắc mắc ở chỗ vì sao từ $x^{2} = n^{2} + a = n^{2} + \frac{2n^{2}}{k}$ mà suy ra được $(\frac{kx}{n})^{2} = k^{2} + 2k \in N^{*}$? Và sao đoạn cuối lại có $\in N^{*}$?
Mình cảm ơn trước.