Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a\ge -2$, $b\ge -2$ và $a+b+2c=6$. Chứng minh rằng
a) $a^2+b^2+4ab+16\ge4c^2-16c+20$.
b) $\dfrac{4-b^2}{4\left[(c-2)^2+1\right]}-\dfrac{a^2}{(a-b)^2+6ab+16}+5\ge 0$.
Đề thi vào 10 Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2017 - 2018 (Đề chung)
Hmm....
a, Do điều kiện bài toán nên ta có a+b=6-2c và $(a+2)(b+2)\geq 0 \rightarrow a^2+b^2+4ab+16=(a+b)^2+2(a+2)(b+2)-4(a+b)+8\geq (a+b)^2-4(a+b)+8=(6-2c)^2-4(6-2c)+8=4c^2-16c+20$ ( Q.E.D)
Đẳng thức xảy ra khi a=-2 hoặc b=-2
b, Theo a, ta thấy $(a-b)^2+6ab+16\geq 4c^2-16c+20$
Do đó $A=\frac{4-b^2}{4c^2-16c+20}-\frac{a^2}{(a-b)^2+6ab+16}+5\geq \frac{4-b^2-a^2}{4c^2-16c+20}+5=\frac{4-(a+b)^2+2(a+2)(b+2)-4(a+b)-8}{4c^2-16c+20}+5\geq \frac{4-(a+b)^2-4(a+b)-8}{4c^2-16c+20}+5=\frac{4-(6-2c)^2-4(6-2c)-8}{4c^2-16c+20}+5=\frac{4(2c-3)^2}{4c^2-16c+20}\geq 0$ ( Q.E.D)
Dấu bằng xảy ra khi $(a,b,c)\in \left \{ (-2,5,\frac{3}{2});(5,-2,\frac{3}{2}) \right \}$